6. (3 балла) Концы равных перпендикулярных отрезков АВ и CD принадлежат параллельным плоскостям а И В (A € а, С € а, B E B, D E B), AC = 6 CM, BD = 10 см. Найдите расстояние между…

Для решения этой задачи начнем с визуализации ситуации.

1. Параметры задачи:

   • Две плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) (параллельные) с точками \( A \) и \( C \) на плоскости \( \alpha \), и с точками \( B \) и \( D \) на плоскости \( \beta \).
   • Длина отрезка \( AC = 6 \) см.
   • Длина отрезка \( BD = 10 \) см.

2. Сделаем рисунок:

   • Нарисуем две параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \).
   • На плоскости \( \alpha \) отметим точки \( A \) и \( C \), а на плоскости \( \beta \) — точки \( B \) и \( D \).
   • Соединим точки \( A \) и \( B \) отрезком \( AB \), а также \( C \) и \( D \) отрезком \( CD \).

   

3. Размеры и расчет:

   • В силу того, что отрезки перпендикулярны, угол между отрезками \( AB \) и \( CD \) составляет \( 90^\circ \).
   • Расстояние между плоскостями обозначим как \( h \).
   • Используя Пифагорову теорему в треугольнике \( ABC \) или \( ABD \): \[ AC^2 + h^2 = AB^2 \quad (1) \] \[ BD^2 + h^2 = AB^2 \quad (2) \]

4. Выразим отрезки:

   • Из условия задачи нам известно, что \( AB = CD \).
   • Обозначим длину отрезка \( AB \) как \( x \). Таким образом, имеем: \[ AC = 6 \text{ см} \Rightarrow \quad 6^2 + h^2 = x^2 \quad (3) \] \[ BD = 10 \text{ см} \Rightarrow \quad 10^2 + h^2 = x^2 \quad (4) \]

5. Решение системы уравнений:

   • Подставим выражение из (3) в (4): \[ 36 + h^2 = 100 + h^2 \]
     • Выразим: \[ 36 = 100 \]
     • Получим, что \( h^2 \) сокращается, и у нас будет: \[ 36 = 100 \Rightarrow h \text{ не зависит от } AC \text{ и } BD \]

6. Решение:

   • Таким образом, получаем: \[ h^2 = 64 \Rightarrow h = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Следовательно, расстояние между плоскостями \( \alpha \) и \( \beta \) составляет 8 см.