Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если известно, что он на 14 см короче другого, а гипотенуза равна 26 см. Ответ дайте в сантиметрах.
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим меньший катет через \( a \), а больший катет через \( b \). По условию задачи:
- \( b = a + 14 \) (больший катет на 14 см длиннее меньшего).
- Гипотенуза \( c = 26 \) см.
Подставляем значения в теорему Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ 26^2 = a^2 + (a + 14)^2 \]
Теперь вычислим \( 26^2 \):
\[ 676 = a^2 + (a^2 + 28a + 196) \]
Упрощаем уравнение:
\[ 676 = 2a^2 + 28a + 196 \]
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ 2a^2 + 28a + 196 - 676 = 0 \]
\[ 2a^2 + 28a - 480 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:
\[ a^2 + 14a - 240 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 \]
Находим корни уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 34}{2} \]
Вычисляем два возможных значения для \( a \):
- \( a_1 = \frac{20}{2} = 10 \)
- \( a_2 = \frac{-48}{2} = -24 \) (это значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Итак, меньший катет \( a = 10 \) см.
Таким образом, ответ: меньший катет равен 10 см.
