1) Дано М(-5;7), N(3;-1), P(3;5), K(-5;-3) Найти: а) координаты векторов MN, PK б) длину вектора NP в) координаты точки А середины М№, координаты точки В середины РК г) длину АВ:…

Давайте разберем данную задачу поэтапно.

а) Координаты векторов MN и PK

Вектор MN можно найти, вычитая координаты точки M из координат точки N:

\[ \text{MN} = N - M = (3; -1) - (-5; 7) = (3 + 5; -1 - 7) = (8; -8) \]

Вектор PK можно найти аналогично:

\[ \text{PK} = K - P = (-5; -3) - (3; 5) = (-5 - 3; -3 - 5) = (-8; -8) \]

б) Длина вектора NP

Для нахождения длины вектора NP используем формулу:

\[ \text{длина NP} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Где \( N(3; -1) \) и \( P(3; 5) \):

\[ \text{длина NP} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{(6)^2} = 6 \]

в) Координаты точки А середины MN и координаты точки В середины PK

Координаты середины отрезка можно найти по формуле:

\[ A\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Для точки A (середина MN):

\[ A\left(\frac{-5 + 3}{2}; \frac{7 + (-1)}{2}\right) = A\left(\frac{-2}{2}; \frac{6}{2}\right) = A(-1; 3) \]

Для точки B (середина PK):

\[ B\left(\frac{3 + (-5)}{2}; \frac{5 + (-3)}{2}\right) = B\left(\frac{-2}{2}; \frac{2}{2}\right) = B(-1; 1) \]

г) Длина AB: MK

Для поиска длины отрезка AB:

\[ \text{длина AB} = \sqrt{((-1) - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = 2 \]

Для поиска длины отрезка MK:

\[ \text{длина MK} = \sqrt{((-5) - (-5))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(0)^2 + (7 + 3)^2} = \sqrt{(10)^2} = 10 \]

д) Уравнение окружности с диаметром NP

Уравнение окружности имеет вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \]

Где \((a, b)\) – это центр окружности, а \(r\) – радиус. Центр окружности будет середина отрезка NP:

\[ C\left(3; \frac{-1 + 5}{2}\right) = C(3; 2) \]

Радиус равен половине длины NP:

\[ r = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, уравнение окружности:

\[ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 \implies (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 \]

е) Уравнение прямой NK

Уравнение прямой можно записать в общем виде:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Где \(m\) – угловой коэффициент, который можно найти как:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Для точек N(3; -1) и K(-5; -3):

\[ m = \frac{-3 - (-1)}{-5 - 3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \]

Теперь подставим координаты одной из точек (например, N):

\[ y - (-1) = \frac{1}{4}(x - 3) \]

Упрощаем:

\[ y + 1 = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} \implies y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} - 1 \implies y = \frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \]

Таким образом, уравнение прямой NK:

\[ y = \frac{1}{4}x - \frac{7}{4} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то подробнее разобрать, не стесняйтесь спрашивать! Удачи в подготовке к экзаменам!