В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота треугольника, проведённая к гипотенузе, равна длине бокового ребра. Найди объём…

Чтобы найти объем прямой треугольной призмы, нам нужно сначала вычислить площадь основания призмы, а затем умножить ее на высоту.

В основании призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину равных катетов этого треугольника как \( a \). Тогда высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна \( \frac{a}{2} \) (это также будет высота, проведенная от прямого угла к основанию заведомо равнобедренного треугольника).

Согласно условию задачи, высота, проведённая к гипотенузе (которая равна длине бокового ребра призмы), равна 5. Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{a}{2} = 5 \] Отсюда \( a = 10 \).

Теперь можно найти площадь основания нашего треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \] где \( a \) и \( b \) — длины катетов. В нашем случае оба катета равны. Таким образом:

\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50. \]

Теперь, зная, что высота призмы равна 5, можно найти объем призмы:

\[ V = S \times h = 50 \times 5 = 250. \]

Таким образом, объем призмы равен \( \boxed{250} \).