Из точки вне окружности проведена касательная равная 30 см. Найти радиус окружности, если расстояние от точки до окружности равно 15 см.
Для решения задачи можно воспользоваться теоремой о касательной к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины касательной \( t \) равен произведению радиуса \( r \) окружности и квадрат расстояния от точки до центра окружности \( d \):
\[ t^2 = r^2 + (d - r)^2 \]
В данном случае:
- длина касательной \( t = 30 \, \text{см} \),
- расстояние от точки до окружности \( d = 15 \, \text{см} \),
- тогда расстояние от точки до центра окружности будет \( d + r = 15 + r \).
Подставим известные значения:
\[ 30^2 = r^2 + (15 - r)^2 \]
Решим уравнение:
- Найдем \( 30^2 = 900 \):
\[ 900 = r^2 + (15 - r)^2 \]
- Раскроем скобки:
\[ (15 - r)^2 = 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot r + r^2 = 225 - 30r + r^2 \]
- Подставим в уравнение:
\[ 900 = r^2 + (225 - 30r + r^2) \]
- Сложим подобные члены:
\[ 900 = 2r^2 - 30r + 225 \]
- Переносим 900 в левую часть:
\[ 0 = 2r^2 - 30r + 225 - 900 \]
\[ 0 = 2r^2 - 30r - 675 \]
- Разделим уравнение на 2:
\[ 0 = r^2 - 15r - 337.5 \]
- Используем дискриминант для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-337.5) = 225 + 1350 = 1575 \]
- Теперь найдем корни с помощью формулы:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{1575}}{2} \]
- Упростим \( \sqrt{1575} \):
\[ \sqrt{1575} = \sqrt{25 \cdot 63} = 5 \sqrt{63} \]
- Подставим это обратно в формулу:
\[ r = \frac{15 \pm 5\sqrt{63}}{2} \]
Таким образом, возможны два значения радиуса. Однако, мы выбираем только положительное значение. Радиус окружности равен:
\[ r = \frac{15 + 5\sqrt{63}}{2} \approx 27.77 \, \text{см} \, (примерно) \]
Радиус окружности составляет примерно 27.77 см.
