l. Вычисление пути прямой точки: S = f f(t)dt Решить задачи: l) Скорость движения точки изменяется по закону v = (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10с от начала…
L. Вычисление пути прямой точки: S = f f(t)dt Решить задачи: l) Скорость движения точки изменяется по закону v = (3t2 + 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10с от начала движения
Чтобы найти путь, пройденный точкой за 10 секунд, мы можем воспользоваться законом движения, связанным со скоростью. Когда скорость \( v(t) \) задана функцией времени, путь \( S \) можно найти, интегрируя скорость по времени.
Начнем с заданной функции скорости: \[ v(t) = 3t^2 + 2t + 1 \]
Чтобы найти путь \( S \) за 10 секунд, необходимо вычислить определённый интеграл от функции скорости на интервале от 0 до 10:
\[ S = \int_{0}^{10} v(t) \, dt = \int_{0}^{10} (3t^2 + 2t + 1) \, dt \]
Теперь решим этот интеграл по частям:
Интегрируем каждое слагаемое:
\[ \int (3t^2) \, dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3 \]
\[ \int (2t) \, dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} = t^2 \]
\[ \int (1) \, dt = t \]
Таким образом, общее интегрирование даёт:
\[ S = \left[ t^3 + t^2 + t \right]_{0}^{10} \]
- Подставим верхний предел интегрирования:
\[ S(10) = 10^3 + 10^2 + 10 = 1000 + 100 + 10 = 1110 \]
- Подставим нижний предел интегрирования:
\[ S(0) = 0^3 + 0^2 + 0 = 0 \]
- Теперь вычтем нижний предел из верхнего:
\[ S = S(10) - S(0) = 1110 - 0 = 1110 \]
Таким образом, путь, пройденный точкой за 10 секунд, составляет \( 1110 \) метров.
