В ящике лежат 11 красных, 12 зеленых и 9 синих шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что они оба красные, если известно, что вторым не вынут зеленый шар?
Для того чтобы решить эту задачу, начнем с определения всех возможных исходов при выборе двух шаров. У нас есть следующая информация:
- Всего шаров: 11 (красные) + 12 (зеленые) + 9 (синие) = 32 шара.
- Мы знаем, что второй шар не может быть зеленым, значит, второй шар может быть либо красным, либо синим.
Теперь определим возможные случаи. Если второй шар не зеленый, то первый шар, который мы можем извлечь, может быть любого цвета, но мы ищем вероятность того, что оба шара красные. Для этого рассмотрим два случая:
- Первый шар красный, второй шар красный.
- Первый шар красный, второй шар синий.
Шаг 1: Вычисление вероятности первого случая
Вероятность того, что первый шар красный:
\[ P(К1) = \frac{11}{32} \]Если первый шар красный, то во втором выборе у нас уже 10 красных шаров и 9 синих, итого 19 шаров. Вероятность того, что второй шар тоже будет красным: \[ P(К2 | К1) = \frac{10}{31} \]
Шаг 2: Вычисление общей вероятности того, что оба шара красные
Для того чтобы найти общую вероятность, используем правило произведения вероятностей: \[ P(К1 \text{ и } К2) = P(К1) \times P(К2 | К1) = \frac{11}{32} \times \frac{10}{31} \]
Шаг 3: Подсчет
Выполним вычисления: \[ P(К1 \text{ и } К2) = \frac{11 \times 10}{32 \times 31} = \frac{110}{992} \]
Упрощаем дробь: \[ P(К1 \text{ и } К2) = \frac{55}{496} \]
Таким образом, вероятность того, что оба шара красные, при условии, что второй шар не зеленый, составляет: \[ \frac{55}{496} \]
Заключение
Ответ: вероятность того, что оба шара красные, если известно, что вторым не вынут зеленый шар, равна \(\frac{55}{496}\).
