Через середину высоты конуса проведено сечение, параллельное плоскости основания конуса. Объём цилиндра, для которого данное сечение является одним из оснований, равен 201 201 .…

Для решения задачи о нахождении объёма конуса, когда известно, что объём цилиндра с основанием, образованным сечением, равен 201, воспользуемся следующим:

Сначала напомним, что объём конуса определяется по формуле:

\[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]

где \( r \) — радиус основания конуса, а \( h \) — его высота.

Когда мы делаем сечение конуса, параллельное основанию, получаем фигуру, напоминающую меньший конус, который подобен исходному конусу. Объём этого меньшего конуса можно выразить через объём исходного, учитывая, что при сечении высоты высота уменьшится в \( k \) раз, где \( k \) — это отношение между высотой меньшего конуса и высотой большого.

Однако вместо того, чтобы искать конкретные размеры, мы можем использовать соотношение объёмов:

Если сечение проходит через середину высоты конуса, это означает, что высота меньшего конуса составляет половину высоты большого. Следовательно, объём меньшего конуса составит:

\[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \frac{r^2 h}{8} = \frac{1}{8} V_{конуса}. \]

Поскольку известно, что объём цилиндра с этим сечением равен 201, и мы знаем, что объём сечённого конуса в точности равен объёму цилиндра (при равной высоте и радиусе), мы можем утверждать, что:

\[ V_{меньшего} = 201. \]

Теперь, так как мы уже вывели, что:

\[ V_{меньшего} = \frac{1}{8} V_{конуса}, \]

то можем выразить объём конуса:

\[ 201 = \frac{1}{8} V_{конуса} \] \[ V_{конуса} = 201 \times 8 = 1608. \]

Таким образом, объём конуса равен \( 1608 \).