Пусть a ¯ =(−1,−2,2), b ¯ =(−1,0,−1) . Найти вектор c ¯ , удовлетворяющий следующим условиям: векторы a ¯ , b ¯ , c ¯ компланарны;    c ¯ ⊥ a ¯ ;     | c ¯ |=| a ¯ |;      c ¯ , b ¯ ˆ ≥ 90 ∘ . В поле для ответа введите абсциссу вектора c ¯ . Ответ округлить до десятых. Задачу можно решать двумя способами. Можно использовать любой из двух критериев компланарности (через смешанное произведение и через линейную комбинацию).

Для решения задачи с векторами \(\mathbf{a} = (-1, -2, 2)\) и \(\mathbf{b} = (-1, 0, -1)\), нам нужно найти вектор \(\mathbf{c}\), который удовлетворяет следующим условиям:

1. Векторы \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) компланарны.
2. Вектор \(\mathbf{c}\) перпендикулярен вектору \(\mathbf{a}\).
3. Длина вектора \(\mathbf{c}\) равна длине вектора \(\mathbf{a}\).
4. Угол между векторами \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{b}\) не меньше 90 градусов (то есть скалярное произведение не положительно).

Шаг 1: Находим длину вектора \(\mathbf{a}\)

Длина вектора \(\mathbf{a}\) рассчитывается по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3. \]

Таким образом, длина \(|\mathbf{c}| = 3\).

Шаг 2: Условие перпендикулярности

Вектор \(\mathbf{c} = (x, y, z)\) должен быть перпендикулярен вектору \(\mathbf{a}\), что означает, что их скалярное произведение равно нулю: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = -1 \cdot x + (-2) \cdot y + 2 \cdot z = 0. \] Это приводит к уравнению: \[ -x - 2y + 2z = 0. \]

Шаг 3: Используем условие компланарности

Векторы компланарны, если смешанное произведение равно нулю: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 0. \] Для этого сначала найдем векторное произведение \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\): \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot z - (-1) \cdot y) - \mathbf{j}(-1 \cdot z - (-1) \cdot x) + \mathbf{k}(-1 \cdot y - 0 \cdot x). \] Преобразуем: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (y, z - x, -y). \]

Теперь подставим это в уравнение для компланарности: \[ \mathbf{a} \cdot (y, z - x, -y) = -1 \cdot y + (-2) \cdot (z - x) + 2 \cdot (-y) = 0. \]

Упрощаем уравнение компланарности

Это уравнение упрощается до: \[ -y - 2z + 2x - 2y = 0 \Rightarrow 2x - 3y - 2z = 0. \]

Шаг 4: Условие длины вектора \(\mathbf{c}\)

Также у нас есть условие, что длина вектора \(\mathbf{c}\) равна 3: \[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3 \Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 9. \]

Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( -x - 2y + 2z = 0 \) (Перпендикулярность \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{a}\))
2. \( 2x - 3y - 2z = 0 \) (Компланарность)
3. \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) (Длина \(\mathbf{c}\))

Из первого уравнения выразим \(z\): \[ 2z = x + 2y \Rightarrow z = \frac{x + 2y}{2}. \]

Подставим \(z\) во второе уравнение: \[ 2x - 3y - 2\left(\frac{x + 2y}{2}\right) = 0 \Rightarrow 2x - 3y - (x + 2y) = 0 \Rightarrow x - y = 0 \Rightarrow x = y. \]

Теперь подставим \(y = x\) в третье уравнение: \[ x^2 + x^2 + \left(\frac{x + 2x}{2}\right)^2 = 9 \Rightarrow 2x^2 + \left(\frac{3x}{2}\right)^2 = 9 \Rightarrow 2x^2 + \frac{9x^2}{4} = 9. \]

Переписываем: \[ \frac{8x^2 + 9x^2}{4} = 9 \Rightarrow \frac{17x^2}{4} = 9 \Rightarrow 17x^2 = 36 \Rightarrow x^2 = \frac{36}{17} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{36}{17}}. \]

Таким образом, \(x \approx \pm 1.5\).

Теперь проверим условие на угол между \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{b}\): \[ \mathbf{c} = \left(\sqrt{\frac{36}{17}}, \sqrt{\frac{36}{17}}, \sqrt{\frac{36}{17}}\right). \]

Если для положительного \(x\), вычисляем скалярное произведение: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = -1\cdot x + 0\cdot y - 1\cdot z = -\sqrt{\frac{36}{17}} - \sqrt{\frac{36}{17}} \leq 0. \]

Условия выполнены, таким образом абсцисса вектора \(\mathbf{c}\) равна: \[ \boxed{1.5} \] (округлено до десятых).