Шарик массой т движется со скоростью v и сталкивается с таким же неподвижным шариком. гая удар абсолютно упругим, определите скорости шариков после столкновения.
В абсолютном упругом столкновении двух одинаковых шариков (масса одного шара \( m = t \)) с одним из них, движущимся со скоростью \( v \) и другим, который находится в состоянии покоя, необходимо использовать законы сохранения импульса и энергии.
Обозначим скорость первого шарика после столкновения как \( v_1' \) и скорость второго шарика как \( v_2' \).
Закон сохранения импульса: \[ m v + m \cdot 0 = m v_1' + m v_2' \] Поскольку массы одинаковые, мы можем их сократить: \[ v = v_1' + v_2' \]
Закон сохранения кинетической энергии: \[ \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m \cdot 0^2 = \frac{1}{2} m v_1'^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2 \] Снова сократим массу: \[ \frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} v_1'^2 + \frac{1}{2} v_2'^2 \] Упрощая, получаем: \[ v^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( v = v_1' + v_2' \)
- \( v^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \)
Подставим \( v_2' = v - v_1' \) во второе уравнение:
\[ v^2 = v_1'^2 + (v - v_1')^2 \] Раскрываем скобки:
\[ v^2 = v_1'^2 + (v^2 - 2vv_1' + v_1'^2) \] Собираем подобные:
\[ v^2 = 2v_1'^2 - 2vv_1' + v^2 \]
Убираем \( v^2 \):
\[ 0 = 2v_1'^2 - 2vv_1' \] Факторизуем:
\[ 0 = 2v_1'(v_1' - v) \]
Это уравнение дает два решения:
- \( v_1' = 0 \) (нет смысла, так как первый шар продолжает двигаться)
- \( v_1' = v \) (например, если второй шар получает всю скорость)
Таким образом, с учетом закона сохранения импульса, после столкновения первого шарика, который двигался, и второго, который был в покое, результаты получаются:
- Первый шарик (первоначально движущийся) останавливается: \( v_1' = 0 \)
- Второй шарик начинает двигаться со скоростью \( v \): \( v_2' = v \)
Ответ:
- \( v_1' = 0 \) (первый шарик становится неподвижным)
- \( v_2' = v \) (второй шарик движется со скоростью \( v \))
