\(\sqrt[3]{1-x^{3}}=1-x)

Чтобы решить уравнение \(\sqrt[3]{1-x^{3}}=1-x\), давайте начнем с того, что нужно убрать кубический корень. Для этого возведем обе стороны уравнения в третью степень:

\[ 1 - x^3 = (1 - x)^3 \]

Теперь раскроем правую часть уравнения, используя формулу куба разности:

\[ (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 \]

Теперь у нас имеется следующее уравнение:

\[ 1 - x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 \]

Теперь мы можем упростить уравнение, убрав \(1\) и \(-x^3\) с обеих сторон:

\[ 0 = -3x + 3x^2 \]

Преобразуем уравнение:

\[ 3x^2 - 3x = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 3x(x - 1) = 0 \]

Теперь мы можем найти корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \(3x = 0\) дает \(x = 0\)
2. \(x - 1 = 0\) дает \(x = 1\)

Таким образом, уравнение имеет два решения: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Чтобы проверить правильность найденных решений, подставим их обратно в изначальное уравнение:

1. Для \(x = 0\): \[ \sqrt[3]{1 - 0^3} = \sqrt[3]{1} = 1 \quad \text{и} \quad 1 - 0 = 1 \] Оба выражения равны, значит, \(x = 0\) является решением.

2. Для \(x = 1\): \[ \sqrt[3]{1 - 1^3} = \sqrt[3]{0} = 0 \quad \text{и} \quad 1 - 1 = 0 \] Оба выражения также равны, значит, \(x = 1\) является решением.

Итак, решения уравнения \(\sqrt[3]{1-x^{3}}=1-x\) - это \(x = 0\) и \(x = 1\).