C³-7c²-4c+28 _______________ c²-49
Для решения выражения \(\frac{c^3 - 7c^2 - 4c + 28}{c^2 - 49}\) начнем с упрощения числителя и знаменателя.
Факторизация знаменателя: Выражение \(c^2 - 49\) представляет собой разность квадратов и может быть фактически записано как: \[ c^2 - 49 = (c - 7)(c + 7) \]
Факторизация числителя: Теперь перейдем к числителю \(c^3 - 7c^2 - 4c + 28\). Для его факторизации можно попробовать следующее:
- Найдите корни полинома, подставив разные значения для \(c\). Мы можем попробовать \(c = 4\): \[ 4^3 - 7 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 + 28 = 64 - 112 - 16 + 28 = -36 \quad (\text{не корень}) \]
- Теперь попробуем \(c = -4\): \[ (-4)^3 - 7 \cdot (-4)^2 - 4 \cdot (-4) + 28 = -64 - 112 + 16 + 28 = -132 \quad (\text{не корень}) \]
- Попробуем \(c = 2\): \[ 2^3 - 7 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 28 = 8 - 28 - 8 + 28 = 0 \quad (\text{корень}) \]
Так как \(c = 2\) - корень, значит делим \(c^3 - 7c^2 - 4c + 28\) на \(c - 2\):
Выполним деление, используя синтетическое деление или долгий деление полиномов.
После деления получаем: \[ c^3 - 7c^2 - 4c + 28 = (c - 2)(c^2 - 5c - 14) \] Далее, попробуем упростить \(c^2 - 5c - 14\):
- Факторизуем: корни данного квадратного уравнения найдём через дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Корни: \[ c = \frac{5 \pm 9}{2} \] Это дает \(c = 7\) и \(c = -2\). Таким образом, можно записать: \[ c^2 - 5c - 14 = (c - 7)(c + 2) \]
Теперь полностью факторизуем числитель: \[ c^3 - 7c^2 - 4c + 28 = (c - 2)(c - 7)(c + 2) \]
Теперь подставим это в изначальное выражение: \[ \frac{(c - 2)(c - 7)(c + 2)}{(c - 7)(c + 7)} \]
Обратите внимание, что одно из выражений в числителе и знаменателе можно сократить (при условии \(c \neq 7\)): \[ = \frac{(c - 2)(c + 2)}{c + 7} \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{(c - 2)(c + 2)}{c + 7}, \quad \text{где } c \neq 7 \]
