Задача: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу, равную 13 см, на отрезки, один из которых равен 4см. Найдите высоту треугольника.

Чтобы найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла и делящую гипотенузу на два отрезка, можно использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о площади.

Дано:

• Длина гипотенузы \( c = 13 \, \text{см} \)
• Один из отрезков на гипотенузе \( a = 4 \, \text{см} \) (другой отрезок, соответственно, будет \( b = c - a = 13 - 4 = 9 \, \text{см} \))

Обозначим высоту из вершины прямого угла как \( h \). По свойству прямоугольного треугольника, площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \]

2. Через отрезки гипотенузы: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 \] где \( h_1 \) и \( h_2 \) - высоты, проведенные из углов на отрезки \( a \) и \( b \) соответственно.

Поскольку высота из вершины прямого угла делит гипотенузу в точке, которая образует два прямоугольных треугольника, основными формулами станут: \[ h^2 = a \cdot b \]

Теперь подставим известные значения: \[ h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \] Следовательно, высота \( h = \sqrt{36} = 6 \, \text{см} \).

Итак, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, составляет 6 см.