В прямоугольном треугольнике ABCD стороны равны 3 см и 8 см найдите меньшую сторону равновеликого ему прямоугольника периметр которого равен 20 см
Для начала, давайте определим стороны треугольника ABCD. Мы имеем прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 см и 8 см.
Теперь мы можем найти длину гипотенузы с помощью теоремы Пифагора:
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \), где \( a = 3 \) см и \( b = 8 \) см.
Подставим значения:
\( c = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \).
Таким образом, гипотенуза равна \( \sqrt{73} \) см.
Теперь перейдем к расчету прямоугольника, который имеет такой же периметр и равные площади с оригинальным треугольником.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\( S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 3 \times 8 = 12 \) см².
Теперь мы знаем, что площадь прямоугольника также должна быть равна 12 см². Обозначим стороны прямоугольника как \( x \) и \( y \). Тогда можно записать систему уравнений:
- \( xy = 12 \) (площадь)
- Периметр прямоугольника равен 20 см, т.е. \( 2(x + y) = 20 \), что можно упростить до \( x + y = 10 \).
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( xy = 12 \)
- \( x + y = 10 \)
Из второго уравнения выразим \( y \):
\( y = 10 - x \).
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\( x(10 - x) = 12 \).
Раскроем скобки:
\( 10x - x^2 = 12 \).
Приведем уравнение к стандартному виду:
\( x^2 - 10x + 12 = 0 \).
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 100 - 48 = 52 \).
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2}. \]
Так как \( \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \), то
\[ x = \frac{10 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 5 \pm \sqrt{13}. \]
Теперь найдем значения \( x \) и \( y \):
- \( x_1 = 5 + \sqrt{13} \) и \( y_1 = 5 - \sqrt{13} \).
- \( x_2 = 5 - \sqrt{13} \) и \( y_2 = 5 + \sqrt{13} \).
Таким образом, меньшая сторона равновеликого прямоугольника равна \( 5 - \sqrt{13} \) см.
