5. В круг радиуса 3 из корня 2/2 см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный…

Для решения задачи определим, какова вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга не попадёт в равнобедренный прямоугольный треугольник, вписанный в этот круг.

1. Площадь круга

Начнём с нахождения площади круга радиуса \( R = 3 \).

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi. \]

2. Параметры треугольника

Теперь, так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его катеты будут равны. Обозначим длину катетов как \( a \). Так как треугольник вписан в круг, мы можем воспользоваться свойством, что гипотенуза треугольника будет равна диаметру круга.

Диаметр круга равен:

\[ D = 2R = 2 \cdot 3 = 6. \]

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + a^2 \Rightarrow c^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}. \]

Так как гипотенуза \( c = 6 \):

\[ a\sqrt{2} = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}. \]

3. Площадь треугольника

Теперь найдем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (3\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9. \]

4. Вероятность того, что точка не попадёт в треугольник

Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка не попадёт в треугольник. Для этого найдем отношение площадей:

\[ P_{\text{не в треугольнике}} = 1 - P_{\text{в треугольнике}} = 1 - \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} \]

Подставим значения:

\[ P_{\text{в треугольнике}} = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{9}{9\pi} = \frac{1}{\pi}. \]

Таким образом:

\[ P_{\text{не в треугольнике}} = 1 - \frac{1}{\pi}. \]

5. Итог

Итак, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга не попадёт в равнобедренный прямоугольный треугольник, составляет:

\[ \boxed{1 - \frac{1}{\pi}}. \]