докажи тождество (a - b) ^ 2 + (ab + 1) ^ 2 = = (a ^ 2 + 1)(b ^ 2 + 1)
Для доказательства тождества \((a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1)\) начнем с разбора левой части уравнения.
Посчитаем \((a - b)^2\): \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Теперь вычислим \((ab + 1)^2\): \[ (ab + 1)^2 = (ab)^2 + 2(ab) + 1 = a^2b^2 + 2ab + 1 \]
Сложим результаты: \[ (a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2b^2 + 2ab + 1) \] Объединим все члены: \[ = a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 \] Упростим: \[ = a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 \]
Теперь перейдем к правой части уравнения:
- Посчитаем \((a^2 + 1)(b^2 + 1)\): \[ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \]
Теперь сравним две полученные части:
Левая часть: \[ a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 \]
Правая часть: \[ a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \]
Как видно, обе части равны. Таким образом, мы доказали, что:
\[ (a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 + 1)(b^2 + 1) \]
Это завершает доказательство данного тождества. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
