4y-x=1 2xy=1

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( 4y - x = 1 \)
2. \( 2xy = 1 \)

Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = 4y - 1 \]

Теперь подставим это значение \( x \) во второе уравнение:

\[ 2(4y - 1)y = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 8y^2 - 2y = 1 \]

Переносим 1 в левую часть уравнения:

\[ 8y^2 - 2y - 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта выглядит так:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \( a = 8 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \). Подставляем эти значения в формулу:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \]

Дискриминант положителен, значит, у квадратного уравнения есть два различных решения. Теперь найдем корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 \pm 6}{16} \]

Теперь вычислим два значения для \( y \):

1)

\[ y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

2)

\[ y_2 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \]

Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в уравнение для \( x \):

Для \( y_1 = \frac{1}{2} \):

\[ x_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

Для \( y_2 = -\frac{1}{4} \):

\[ x_2 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = -1 - 1 = -2 \]

Таким образом, у нас есть два решения для системы:

1. \( (x_1, y_1) = (1, \frac{1}{2}) \)
2. \( (x_2, y_2) = (-2, -\frac{1}{4}) \)

Если возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь обращаться!