Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем АС=2CN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ:МС=1:3. В каком отношении взята прямая MN,…

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат.

1. Установим координаты вершин треугольника ABC:

   • Пусть точка A будет в начале координат: \( A(0, 0) \).
   • Точка B на оси y: \( B(0, b) \).
   • Точка C на оси x: \( C(c, 0) \).

2. Теперь определим координаты точки N. Согласно условию \( AC = 2CN \), если \( AC = c \) и \( CN = x \), то: \[ CN = x \quad \text{и} \quad AC = 2x \implies c = 2x \implies x = \frac{c}{2}. \] Следовательно, координаты точки N (которая находится на продолжении AC) можно определить как: \[ N(c + \frac{c}{2}, 0) = N(\frac{3c}{2}, 0). \]

3. Теперь найдем координаты точки M на стороне BC. Мы знаем, что \( BM:MC = 1:3 \). Если обозначим \( M \) за \( (0, y) \), то по условию: \[ BM:MC = 1:3 \implies \frac{y}{b - y} = \frac{1}{3}. \] Отсюда следует, что: \[ 3y = b - y \implies 4y = b \implies y = \frac{b}{4}. \] Таким образом, координаты точки M: \[ M(0, \frac{b}{4}). \]

4. Теперь найдем уравнение прямой MN. Для этого найдем коэффициенты углового выражения, используя координаты N и M:

   • Координаты N: \( N(\frac{3c}{2}, 0) \)
   • Координаты M: \( M(0, \frac{b}{4}) \)

   Угловой коэффициент прямой MN: \[ k = \frac{\frac{b}{4} - 0}{0 - \frac{3c}{2}} = \frac{b/4}{-3c/2} = -\frac{b}{6c}. \]

5. Уравнение прямой MN в общем виде, исходя из точки M и углового коэффициента k: \[ y - \frac{b}{4} = -\frac{b}{6c} \cdot (x - 0) \implies y = -\frac{b}{6c} x + \frac{b}{4}. \]

6. Теперь находим уравнение стороны AB, так как эта прямая делит сторону AB. Находим уравнение AB:

   • \( B(0, b) \) и \( A(0, 0) \) дают прямую: \[ y = \frac{b}{c} x. \]

7. Подставляем уравнение AB в уравнение прямой MN, равноудалив AB и MN: \[ -\frac{b}{6c} x + \frac{b}{4} = \frac{b}{c} x. \] Это уравнение позволяет найти точку пересечения и определить отношение отрезков.

Проведя все вычисления, мы можем заключить, что линия MN делит сторону AB в отношении \( 1:2 \).