Найдите все кори иррационального уровнения √2x²-4=-x

Давайте решим уравнение \(\sqrt{2x^2 - 4} = -x\).

1. Определение области определения: Сначала рассмотрим область определения. Поскольку у нас есть квадратный корень, выражение под ним должно быть неотрицательным: \[ 2x^2 - 4 \geq 0 \] Решим неравенство: \[ 2x^2 \geq 4 \] \[ x^2 \geq 2 \] Это означает, что \(x \leq -\sqrt{2}\) или \(x \geq \sqrt{2}\).

2. Квадратирование обеих сторон: Так как правая сторона уравнения \(-x\) всегда не положительна, у нас есть ограничение на \(x\) из первой части. Теперь давайте избавимся от квадратного корня, возведя обе стороны в квадрат (с учетом, что \(-x\) должно быть неотрицательным): \[ 2x^2 - 4 = x^2 \]

3. Приведение уравнения к стандартному виду: Упростим уравнение: \[ 2x^2 - x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]

4. Нахождение корней: Теперь решим это уравнение: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

5. Проверка решений в первоначальном уравнении:

   • Подставим \(x = 2\): \[ \sqrt{2(2)^2 - 4} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] \(-2 = -2\) – это верное равенство.

   • Подставим \(x = -2\): \[ \sqrt{2(-2)^2 - 4} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] \(-(-2) = 2\) – это тоже верное равенство.

6. Заключение: Таким образом, оба значения \(x = 2\) и \(x = -2\) являются решениями уравнения.

В итоге, все корни иррационального уравнения \(\sqrt{2x^2 - 4} = -x\) это: \[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2. \]