Теплоёмкость специальных камней зависит от температуры по линейному закону: C = Co(1 + a - t), где С = 840 Дж/°C, t - температура камней в °С, а = 3,8 • 10-3 1 •0 • Камни греются на плитке мощностью 1 кВт. Найдите время нагрева 10 камней от температуры 0 °C до температуры 50 °С? Ответ выразите в минутах, округлив до десятых. Тепловыми потерями пренебречь.
Для решения этой задачи сначала необходимо рассчитать общее количество тепла, которое необходимо передать 10 камням для нагрева от 0 °C до 50 °C.
Дано:
- Количество камней \( n = 10 \)
- Начальная температура \( t_1 = 0 \) °C
- Конечная температура \( t_2 = 50 \) °C
- Теплоёмкость при \( t = 0 \), \( C_0 = 840 \) Дж/°C
- Линейное зависимость теплоёмкости: \( C = C_0(1 + \alpha t) \), где \( \alpha = 3,8 \times 10^{-3} \) 1/°C
Сначала рассчитаем теплоёмкость для температурного диапазона от 0 °C до 50 °C. Теплоёмкость будет изменяться от 0°C до 50°C:
- Найдём среднюю теплоёмкость \( C_{\text{ср}} \) в диапазоне от \( t_1 \) до \( t_2 \):
\[ C_{\text{ср}} = \frac{C(t_1) + C(t_2)}{2} = \frac{C_0(1 + \alpha t_1) + C_0(1 + \alpha t_2)}{2} \]
- Подставим значения:
\[ C(t_1) = C_0(1 + \alpha \cdot 0) = C_0 = 840 \, \text{Дж/°C} \]
\[ C(t_2) = C_0(1 + \alpha \cdot 50) = 840 \left(1 + (3,8 \times 10^{-3} \cdot 50)\right) \]
Находим \( C(t_2) \):
\[ C(t_2) = 840 \left(1 + 0,19\right) = 840 \cdot 1,19 \approx 1003,6 \, \text{Дж/°C} \]
Теперь нет:
\[ C_{\text{ср}} = \frac{840 + 1003,6}{2} \approx \frac{1843,6}{2} \approx 921,8 \, \text{Дж/°C} \]
- Теперь рассчитаем общее количество тепла \( Q \), необходимое для нагрева 10 камней:
\[ Q = n \cdot C_{\text{ср}} \cdot (t_2 - t_1) = 10 \cdot 921,8 \cdot (50 - 0) \]
\[ Q = 10 \cdot 921,8 \cdot 50 = 460900 \, \text{Дж} \]
- Теперь найдем время \( t \) нагрева, если плитка имеет мощность \( P = 1 \, \text кВт = 1000 \, \text{Вт} \):
\[ t = \frac{Q}{P} = \frac{460900}{1000} = 460,9 \, \text{с} \]
- Переведем время в минуты:
\[ t_{\text{мин}} = \frac{460,9}{60} \approx 7,68 \, \text{мин} \]
Округляем до десятых:
Ответ: \( t \approx 7,7 \, \text{мин} \).
