9^(x - 1/2) - 8 * 3^(x - 1) + 5 = 0 найди корни принадлежащие отрезку(1;7/3)
Для решения уравнения \( 9^{(x - \frac{1}{2})} - 8 \cdot 3^{(x - 1)} + 5 = 0 \) начнем с того, что упростим выражение.
Заменим \( 9 \) на \( 3^2 \):
\[ 9^{(x - \frac{1}{2})} = (3^2)^{(x - \frac{1}{2})} = 3^{2(x - \frac{1}{2})} = 3^{2x - 1} \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ 3^{2x - 1} - 8 \cdot 3^{(x - 1)} + 5 = 0 \]
Также можем записать \( 3^{(x - 1)} \) как \( \frac{3^x}{3} \):
\[ 8 \cdot 3^{(x - 1)} = 8 \cdot \frac{3^x}{3} = \frac{8}{3} \cdot 3^x \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 3^{2x - 1} - \frac{8}{3} \cdot 3^x + 5 = 0 \]
Проще всего будет сделать замену \( y = 3^x \). Тогда \( 3^{2x} = y^2 \), и \( 3^{2x - 1} = \frac{y^2}{3} \). Подставляем:
\[ \frac{y^2}{3} - \frac{8}{3}y + 5 = 0 \]
Умножим всё на 3 для удобства:
\[ y^2 - 8y + 15 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 2}{2} \]
Находим корни:
\[ y_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Мы нашли, что \( 3^x = 5 \) и \( 3^x = 3 \).
Теперь находим \( x \):
Для \( 3^x = 5 \): \[ x = \log_3(5) \approx 1.46497 \]
Для \( 3^x = 3 \): \[ x = \log_3(3) = 1 \]
Теперь нужно проверить, принадлежат ли найденные корни отрезку \( (1; \frac{7}{3}) \).
\(\frac{7}{3} \approx 2.3333\), следовательно, отрезок \( (1; \frac{7}{3}) \) включает значение \( x \approx 1.46497 \) и \( x = 1 \).
Таким образом, корни \( x = 1 \) и \( x \approx 1.46497 \) принадлежат отрезку \( (1; \frac{7}{3}) \).
