Сократите дробь 5 - корень из 15/корень из 15 -3

Чтобы сократить дробь \( \frac{5 - \sqrt{15}}{\sqrt{15} - 3} \), давайте сначала упростим её.

1. Обратите внимание на то, что дробь имеет вид \( \frac{a - b}{c - d} \), где \( a = 5 \), \( b = \sqrt{15} \), \( c = \sqrt{15} \) и \( d = 3 \).
2. Попробуем умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя, чтобы избавиться от корня в знаменателе. Сопряжённое выражение для \( \sqrt{15} - 3 \) — это \( \sqrt{15} + 3 \).

Теперь умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{15} + 3 \):

\[ \frac{(5 - \sqrt{15})(\sqrt{15} + 3)}{(\sqrt{15} - 3)(\sqrt{15} + 3)} \]

3. В знаменателе применяется формула разности квадратов: \[ (\sqrt{15})^2 - 3^2 = 15 - 9 = 6 \]

4. Теперь упростим числитель: \[ (5 - \sqrt{15})(\sqrt{15} + 3) = 5\sqrt{15} + 15 - \sqrt{15}\cdot\sqrt{15} - 3\sqrt{15} = 5\sqrt{15} + 15 - 15 - 3\sqrt{15} \] \[ = (5\sqrt{15} - 3\sqrt{15}) + 15 - 15 = 2\sqrt{15} \]

5. Подставляем все обратно в дробь: \[ \frac{2\sqrt{15}}{6} \]

6. Наконец, сократим дробь: \[ \frac{2\sqrt{15}}{6} = \frac{\sqrt{15}}{3} \]

Таким образом, сокращённая форма дроби \( \frac{5 - \sqrt{15}}{\sqrt{15} - 3} \) равна \( \frac{\sqrt{15}}{3} \).