В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+AB=18 см. Найдите АС и АВ.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и внешним углом при вершине A равным 120°, можно выявить необходимые отношения для нахождения сторон AC и AB.
Углы треугольника:
- Угол A = 120° - 90° = 30° (внутренний угол при A).
- Угол B = 90° (прямой угол).
- Угол C = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Стороны треугольника: Обозначим AC как x и AB как y. По условию задачи у нас есть: \[ x + y = 18 \, \text{см} \]
Применим соотношения тригонометрии к прямоугольному треугольнику ABC: Из отношения для угла A (30°), мы знаем, что: \[ \sin(30°) = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{y} \] Поскольку \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), это можно выразить как: \[ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}y \]
Подставим это в уравнение x + y = 18: \[ \frac{1}{2}y + y = 18 \] \[ \frac{3}{2}y = 18 \] \[ y = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 \, \text{см} \]
Теперь найдём AC: \[ x = 18 - y = 18 - 12 = 6 \, \text{см} \]
В итоге, получаем:
- AC = 6 см,
- AB = 12 см.
Таким образом, стороны треугольника AC и AB равны соответственно 6 см и 12 см.
