Lim x->0 2x sin x/1-cos^2 3x lim x-> бесконечности (x+4/x+2)^1-2x

Для решения пределов, давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Первый предел: \(\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos^2(3x)}\)

   Мы знаем, что \(1 - \cos^2(3x) = \sin^2(3x)\). Таким образом, предел можно записать как: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{\sin^2(3x)} \] Теперь упростим выражение. Мы можем выразить \(\sin(3x)\) через его аргумент: \(\sin(3x) \approx 3x\) при \(x \to 0\). Таким образом, \(\sin^2(3x) \approx (3x)^2 = 9x^2\).

   Подставим это обратно в предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{9x^2} \] Теперь мы можем использовать, что \(\sin x \approx x\) при \(x \to 0\): \[ \sin x \approx x \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{9x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{9} = \frac{2}{9} \]

2. Второй предел: \(\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 4}{x + 2} \right)^{1 - 2x}\)

   Начнем с анализа дроби \(\frac{x + 4}{x + 2}\): \[ \frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x(1 + \frac{4}{x})}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{1 + \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x}} \to 1 \quad \text{при } x \to \infty \]

   Затем подставим это в предел: \[ \left( \frac{x + 4}{x + 2} \right)^{1 - 2x} \to 1^{-\infty} \] Это неопределенность, и мы можем использовать исследование логарифма: \[ \ln L = (1 - 2x) \ln\left(\frac{x + 4}{x + 2}\right) \] Если мы найдем предел \(\ln\left(\frac{x + 4}{x + 2}\right)\): \[ \ln L = (1 - 2x) \cdot O\left(\frac{2}{x}\right) \text{ (при } x \to \infty\text{)} \] Таким образом, с учетом того, что \((1 - 2x) \to -\infty\), получим, что \(L \to 0\).

Итак, окончательные ответы:

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin x}{1 - \cos^2(3x)} = \frac{2}{9}\)
2. \(\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 4}{x + 2} \right)^{1 - 2x} = 0\)