Давайте разберем предложения на наличие ошибок в употреблении деепричастий и исправим их.
Открыв окно, я залюб..вался видом города.
- Правильно: "Открыв окно, я залюбовался видом города." (Деепричастие совершенного вида: открыв)
Открыва дверь, она громко скрипнула.
- Правильно: "Открывая дверь, она громко скрипнула." (Деепричастие несовершенного вида: открывая)
Брат, скл..нив голову набск что (то) писал.
- Правильно: "Брат, склонив голову, что-то писал." (Деепричастие совершенного вида: склонив)
Закан (?) чивая чертёж, у меня сл..мался карав даш.
- Правильно: "Заканчивая чертёж, у меня сломался карандаш." (Деепричастие несовершенного вида: заканчивая)
Возвр..щаясь домой, ш..л дождь.
- Правильно: "Возвращаясь домой, шёл дождь." (Деепричастие несовершенного вида: возвращаясь)
Разл..жив игрушки на Д..ване, дети начали какую (то) интересн..ю игру.
- Правильно: "Разложив игрушки на диване, дети начали какую-то интересную игру." (Деепричастие совершенного вида: разложив)
Кое (кто) малышей, занявшись рисованием, (не) хотел идти на обед.
- Правильно: "Кое-кто из малышей, занявшись рисованием, не хотел идти на обед." (Деепричастие совершенного вида: занявшись)
Пре читав рассказ, он пок..зался мне слишком грус (?) ным.
- Правильно: "Прочитав рассказ, он показался мне слишком грустным." (Деепричастие совершенного вида: прочитав)
Таким образом, в предложениях были допущены ошибки в употреблении деепричастий, которые мы исправили. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений, смело обращайтесь!