В усеченном конусе высота 10, а радиусы оснований 8 и 18. На каком расстоянии от меньшего основания находится параллельное сечение, площадь которого есть средняя пропорциональная…

Для решения задачи сначала найдем площади оснований усечённого конуса.

Пусть \( R_1 = 18 \) — радиус большего основания, \( R_2 = 8 \) — радиус меньшего основания. Площадь большего основания \( S_1 \) и меньшего основания \( S_2 \) вычисляется по формуле площади круга \( S = \pi R^2 \):

\[ S_1 = \pi R_1^2 = \pi (18)^2 = 324\pi, \]

\[ S_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi. \]

Теперь найдем среднюю пропорциональную площадь между \( S_1 \) и \( S_2 \). Она вычисляется как:

\[ S_m = \sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{(324\pi)(64\pi)} = \sqrt{20736\pi^2} = 144\pi. \]

Теперь у нас есть значение средней пропорциональной площади \( S_m = 144\pi \).

Зная, что площадь сечения в усеченном конусе пропорциональна квадрату радиуса сечения, будем искать радиус \( R \), который удовлетворяет условию:

\[ \pi R^2 = 144\pi. \]

Упрощая, получаем:

\[ R^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad R = 12. \]

Теперь определим высоту \( h \) на расстоянии от меньшего основания до сечения, используя подобие треугольников. Высота усеченного конуса \( H = 10 \). Высота \( h \) от меньшего основания до сечения и высота от сечения до большего основания составляют:

\[ h + h' = 10, \]

где \( h' \) — высота от сечения до большего основания. Также воспользуемся свойством подобия:

\[ \frac{R_2 - R}{R_2 - R_1} = \frac{h}{H}. \]

Подставляем наши значения:

\[ \frac{8 - 12}{8 - 18} = \frac{h}{10}. \]

Упрощаем дробь слева:

\[ \frac{-4}{-10} = \frac{h}{10} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{10} = \frac{h}{10}. \]

Отсюда следует, что:

\[ h = 4. \]

Таким образом, сечение, площадь которого является средней пропорциональной между площадями оснований, находится на расстоянии \( 4 \) от меньшего основания.