Введите ответ в числовое поле С высоты 67,5 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности…
Введите ответ в числовое поле С высоты 67,5 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности земли равна половине его кинетической энергии. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите скорость этого тела на высоте һ. Ответ укажите в СИ и округлите до целого числа. Ускорение свободного падения равно 10 м/с2.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии и формулы потенциальной и кинетической энергии.
Определим потенциальную энергию (ПЭ) и кинетическую энергию (КЭ) точечного тела. Потенциальная энергия на высоте h вычисляется по формуле: \[ PE = m \cdot g \cdot h \] где \( m \) — масса тела, \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота.
Кинетическая энергия вычисляется по формуле: \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] где \( v \) — скорость тела.
Условие задачи гласит, что потенциальная энергия на высоте \( h \) равна половине кинетической энергии: \[ PE = \frac{1}{2} KE \] Подставляем выражения для ПЭ и КЭ: \[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m v^2 \] Упрощаем это уравнение, сократив массу \( m \): \[ g \cdot h = \frac{1}{2} v^2 \]
Выразим скорость \( v \) через высоту \( h \): \[ v^2 = 2gh \] \[ v = \sqrt{2gh} \]
Теперь нам нужно выразить высоту \( h \) в зависимости от общей высоты (67,5 м) и высоты, на которой находится тело. На высоте \( h \) потенциальная энергия составляет половину от кинетической, а значит, изначальная энергия тела при падении равна сумме потенциальной и кинетической на высоте \( h \).
Потенциальная энергия на высоте 67,5 м: \[ PE_{max} = m \cdot g \cdot 67.5 \]
На высоте \( h \): \[ PE = m \cdot g \cdot h \] \[ KE = m \cdot g \cdot (67.5 - h) \]
Приравняем потенциальную и кинетическую энергии: \[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot g \cdot (67.5 - h) \]
Сократим массу \( m \) и \( g \): \[ h = \frac{1}{2} (67.5 - h) \] Умножим обе стороны на 2: \[ 2h = 67.5 - h \] Переносим \( h \) в одну сторону: \[ 3h = 67.5 \] \[ h = 22.5 \, \text{м} \]
Подставим значение высоты \( h \) в формулу для скорости: \[ v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 22.5} = \sqrt{450} \approx 21.2 \, \text{м/с} \]
Округляя до целого числа, получаем, что скорость тела на высоте \( h \) составляет 21 м/с.
Таким образом, ответ: 21 м/с.
