В ящике первоначально находилось 6 шаров:4 чёрных и 2 белых. Один шар был потерян. Затем из урны наугад извлекли 1 шар. Обозначим события: А -"извлекли белый шар" В1-" потерян…
В ящике первоначально находилось 6 шаров:4 чёрных и 2 белых. Один шар был потерян. Затем из урны наугад извлекли 1 шар. Обозначим события: А -"извлекли белый шар" В1-" потерян черный шар , В2-" потерян белый шар". Вычеслите формулу для вычисления вероятности события В1-" потерян черный шар", если известно, что был извлечен шар белого цвета.
Для решения данной задачи используем формулу условной вероятности. Нам нужно найти вероятность события \( B_1 \) (что потерян черный шар) при условии, что извлеченный шар белого цвета \( A \).
Согласно формуле Байеса, это можно выразить так:
\[ P(B_1 | A) = \frac{P(A | B_1) \cdot P(B_1)}{P(A)} \]
Теперь определим каждую из вероятностей:
- \( P(B_1) \) - вероятность того, что потерян черный шар. В этом случае, если потерян черный шар, у нас останется 3 черных шара и 2 белых шара. Вероятность потери черного шара, когда мы знаем, что всего 6 шаров (4 черных и 2 белых), равна:
\[ P(B_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
- \( P(B_2) \) - вероятность того, что потерян белый шар. Если потерян белый шар, у нас останется 4 черных шара и 1 белый шар. Вероятность потери белого шара:
\[ P(B_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- \( P(A | B_1) \) - вероятность того, что извлечен белый шар при условии, что потерян черный шар. Если потерян черный шар, то у нас 3 черных шара и 2 белых шара, и вероятность извлечения белого шара:
\[ P(A | B_1) = \frac{2}{5} \]
- \( P(A | B_2) \) - вероятность того, что извлечен белый шар при условии, что потерян белый шар. Если потерян белый шар, то у нас 4 черных шара и 1 белый шар, и вероятность извлечения белого шара:
\[ P(A | B_2) = \frac{1}{5} \]
Теперь вычислим \( P(A) \), используя закон полной вероятности:
\[ P(A) = P(A | B_1) \cdot P(B_1) + P(A | B_2) \cdot P(B_2) \]
Подставим известные значения:
\[ P(A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \]
\[ P(A) = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]
Теперь подставим все значения в формулу для условной вероятности \( P(B_1 | A) \):
\[ P(B_1 | A) = \frac{(\frac{2}{5}) \cdot (\frac{2}{3})}{\frac{1}{3}} \]
\[ = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{15} \cdot \frac{3}{1} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]
Таким образом, вероятность того, что потерян черный шар, при условии, что был извлечен белый шар, составляет \( \frac{4}{5} \).
