Сторона основания правильной шкстиугольной пирамиды равна 2√3, а угол между боковой гранью и основанием равен 30° найдите объем пирамиды

Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нужно использовать формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_b h, \]

где \( S_b \) — площадь основания пирамиды, а \( h \) — высота.

1. Определим площадь основания. Основание правильной шестиугольной пирамиды представляет собой правильный шестиугольник, который можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Для нахождения площади шестиугольника можно воспользоваться формулой:

\[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \]

где \( a \) — сторона шестиугольника. В нашем случае, \( a = 2\sqrt{3} \).

Подставляя значение:

\[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}. \]

2. Найдём высоту пирамиды \( h \). Из условия задачи известно, что угол между боковой гранью и основанием равен 30°. В этом случае можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Высота \( h \) образует прямоугольный треугольник с боковой гранью. В данном треугольнике:

\[ \tan(30°) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}, \]

где \( a\sqrt{3}/2 \) — это половина длины диагонали, которая равна радиусу вписанной окружности шестиугольника (по формуле радиуса вписанной окружности для шестиугольника).

Для шестиугольника \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \).

Таким образом:

\[ \tan(30°) = \frac{h}{3} \implies h = 3 \cdot \tan(30°) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. \]

3. Подставим найденные значения в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18. \]

Итак, объем правильной шестиугольной пирамиды равен 18.