Конечно, давайте разберём ваши предложения. Начнём с того, что нужно выделить грамматическую основу и обозначить виды сказуемых.
После обеда Катюша стала делать кр…вать зайчику.
- Грамматическая основа: «Катюша стала делать».
- Вид сказуемого: составное именное (стал) и глагольное (делать).
Бабушка убрала суп с кашей и села к окошку пр(и,е)шивать пуговицу к Антоновой куртке.
- Грамматическая основа: «Бабушка убрала суп» и «села пр(и,е)шивать пуговицу».
- Вид сказуемого: простое глагольное (убрала, села) и инфинитивное (пр(и,е)шивать).
Надел он куртку с новой пуговицей и начал просит(?)ся гулять.
- Грамматическая основа: «Он надев» и «начал проситься».
- Вид сказуемого: простое глагольное (надел) и составное (начал).
В то время радуга стала неяркая а потом и вовсе пот…рялась.
- Грамматическая основа: «Радуга стала неяркая» и «пот…рялась».
- Вид сказуемого: составное именное (стала) и простое глагольное (пот…рялась).
Утром Катюша пр…снулась первая.
- Грамматическая основа: «Катюша пр…снулась».
- Вид сказуемого: простое глагольное (пр…снулась).
Дедушка то(же) п…ехал искать зайчика.
- Грамматическая основа: «Дедушка п…ехал».
- Вид сказуемого: простое глагольное (п…ехал).
Если у вас есть вопросы по разбору или нужно подробнее объяснить какую-либо часть, не стесняйтесь спрашивать!