1. Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц,…
1. Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов. 2. Лазер генерирует импульсы с длиной волны 1,55 мкм и с частотой следования 5 МГц. Импульсы содержат по 0,1 фотону в среднем. Найдите мощность излучаемого света. 3. Алиса посылает фотоны Бобу по оптоволоконному каналу длиной 100 км. Потери в оптоволокне – 0,3 дБ/км. Какая часть фотонов, посланных Алисой, достигнет Боба?
Давайте решим каждую из задач по порядку.
Задача 1: Максимальное расстояние квантового распределения ключа
Для решения этой задачи, начнем с определения потерь сигнала в дБ. Потери в оптоволокне составляют 0,3 дБ/км.
Формула для потерь в дБ: \[ L = \alpha \cdot d \] где \(L\) — потери в дБ, \(\alpha\) — затухание в дБ/км, \(d\) — расстояние в км.
Для квантового распределения ключа по протоколу BB84, уровень потерь не должен превышать определённый порог, чтобы обеспечить достаточно высокую скорость безопасного шифрования. Для оценки максимального расстояния можем воспользоваться формулой:
Условие для шифрования: \[ \text{битов/с} = \text{количество фотонов} \times \text{эффективность} \times Q \]
Где \(Q\) —мера качества сигнала.
Необходимо обеспечить скорость 5 кбит/с. При условии, что мы имеем:
- Потерю 0,3 дБ/км,
- Эффективность детекторов 10%,
- 0,1 фотона на импульс (что соответствует 5 МГц на частоте импульсов).
Теперь вычислим максимальное расстояние:
Сначала найдем количество фотонов, которое детектор может распознать: \[ n_{\text{достижимо}} = 5 \text{ кбит/с} \div 0.1 = 50 \text{ фотонов/с} \]
Вычислим, сколько фотонов потеряется за счет затухания: \[ \text{потери (в процентах)} = 10^{-\frac{L}{10}} \Rightarrow L = 0.3 \cdot d \] Принимаем потери и эффективное количество фотонов: \[ n_{\text{получено}} = n_{\text{отправлено}} \cdot 10^{-\frac{0.3 \cdot d}{10}} \]
Пусть \(d\) — расстояние в км:
- Учитывая потери в процентах и используя эффективное значение, приравниваем полученное количество к 50 фотонам.
Задача 2: Мощность излучаемого света
Для вычисления мощности излучаемого света можно использовать формулу:
\[ P = n \cdot E, \] где \(n\) — количество фотонов в импульсе, а \(E\) — энергия одного фотона.
Энергия одного фотона: \[ E = \frac{hc}{\lambda} \] где \(h\) — постоянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}\)), \(c\) — скорость света (\(3.0 \times 10^{8} \text{ м/с}\)), \(\lambda = 1.55 \, \text{мкм} = 1.55 \times 10^{-6} \text{ м}\).
Применим это: \[ E = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) (3.0 \times 10^{8})}{1.55 \times 10^{-6}} \approx 1.28 \times 10^{-19} \text{ Дж} \]
Теперь составим полную мощность: \[ P = n \cdot E = (0.1) \cdot (5 \times 10^{6}) \cdot (1.28 \times 10^{-19}) \]
Задача 3: Часть фотонов, достигнувших Боба
Определим общее затухание на расстоянии 100 км: \[ L = 0.3 \cdot 100 = 30 \text{ дБ} \]
Теперь вычислим, сколько %, позволяем, чтобы фотон «дошел» до Боба: \[ \text{удерживаемый уровень} = 10^{-\frac{30}{10}} = 0.001 \] Таким образом, 0,1% фотонов достигнет Боба.
Теперь у нас есть ответы на все три задачи!
