Верно ли утверждение: «В десятичной записи числа 2^200 есть по крайней мере шесть одинаковых цифр»? Отвечая на вопрос, нельзя находить значение степени 2 выше пятой.

Для того чтобы выяснить, есть ли в десятичной записи числа \( 2^{200} \) хотя бы шесть одинаковых цифр, можно использовать принцип Дирихле (или принцип ящиков).

В десятичной системе счисления используются 10 различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если мы представим число \( 2^{200} \) в десятичной записи, его длина (количество цифр) можно приблизительно оценить с помощью логарифмов.

Длина десятичной записи числа \( n \) связана с его логарифмом по формуле: \[ d = \lfloor \log_{10} n \rfloor + 1. \]

Таким образом, чтобы найти приблизительную длину числа \( 2^{200} \), вычислим:

\[ \log_{10}(2^{200}) = 200 \cdot \log_{10}(2) \approx 200 \cdot 0.301 \approx 60.2. \]

Это означает, что \( d \approx \lfloor 60.2 \rfloor + 1 = 61 \) (число \( 2^{200} \) содержит примерно 61 цифру).

Теперь применим принцип Дирихле: у нас есть 61 «ящик» (цифры в записи числа) и 10 различных «предметов» (цифры от 0 до 9). Для того чтобы обеспечить наличие хотя бы шести одинаковых цифр, нам необходимо, чтобы общее количество «предметов» в каждом ящике не превышало 5.

Количество предметов, которое можно уместить в 10 ящиков так, чтобы ни в одном ящике не было больше 5 предметов, составляет \( 10 \cdot 5 = 50 \). Однако, поскольку у нас 61 цифра, нужно распределить 11 дополнительных цифр по ящикам. Это приведет к тому, что в каком-то из ящиков обязательно окажется 6 или более предметов.

Таким образом, по принципу Дирихле в десятичной записи числа \( 2^{200} \) есть как минимум шесть одинаковых цифр. Утверждение верно.