Решить задачу: "Если сжимать пружину с силой 4Н, то ее длина будет равна 8 см. Если растягивать с силой 7Н, то ее длина будет 13,5 см. Чему равна длина недеформированной пружины?"
Чтобы решить эту задачу, можно использовать закон Гука, который описывает поведение пружин. Он утверждает, что сила, действующая на пружину, прямо пропорциональна изменению её длины. Формально это можно записать как:
\[ F = k \cdot \Delta x \]
где:
- \( F \) — сила,
- \( k \) — коэффициент жесткости пружины,
- \( \Delta x \) — изменение длины пружины.
В данной задаче мы имеем две силы и соответствующие длины пружины:
- При силе 4 Н длина пружины равна 8 см.
- При силе 7 Н длина пружины равна 13,5 см.
Теперь мы можем выразить изменения длины пружины для каждой ситуации:
Когда пружина сжата: \[ \Delta x_1 = L_0 - 8 \text{ см} \quad (где \ L_0 — длина недеформированной пружины) \] Сила 4 Н: \[ 4 = k \cdot (L_0 - 8) \]
Когда пружина растянута: \[ \Delta x_2 = 13,5 - L_0 \] Сила 7 Н: \[ 7 = k \cdot (13,5 - L_0) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 4 = k \cdot (L_0 - 8) \)
- \( 7 = k \cdot (13,5 - L_0) \)
Решим её. Из первого уравнения выразим \( k \):
\[ k = \frac{4}{L_0 - 8} \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 7 = \frac{4}{L_0 - 8} \cdot (13,5 - L_0) \]
Теперь умножим обе стороны на \( (L_0 - 8) \):
\[ 7(L_0 - 8) = 4(13,5 - L_0) \]
Распределим:
\[ 7L_0 - 56 = 54 - 4L_0 \]
Соберем все \( L_0 \) с одной стороны и числа с другой:
\[ 7L_0 + 4L_0 = 54 + 56 \]
\[ 11L_0 = 110 \]
Теперь разделим обе стороны на 11:
\[ L_0 = 10 \text{ см} \]
Таким образом, длина недеформированной пружины равна \( 10 \) см.
