При каких значениях параметра a число 2 лежит между корнями уравнения x^2-αx+3-α=0? Варианты ответа: 1)α<-6 2)α>2 3)α>7/3 4)α≤-6 5)α≥2 6)α≥7/3

Чтобы определить, при каких значениях параметра α число 2 лежит между корнями уравнения \(x^2 - \alpha x + 3 - \alpha = 0\), сначала найдем корни этого уравнения. Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\Delta}}{2}, \]

где \(\Delta = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -\alpha\), \(c = 3 - \alpha\). Находим дискриминант:

\[ \Delta = (-\alpha)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - \alpha) = \alpha^2 - 12 + 4\alpha = \alpha^2 + 4\alpha - 12. \]

Теперь определим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}}{2}. \]

Чтобы число 2 лежало между корнями, необходимо:

\[ x_1 < 2 < x_2. \]

Первое условие \(x_1 < 2\):

\[ \frac{\alpha - \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}}{2} < 2. \] При умножении на 2 (при этом знак не меняется), получаем:

\[ \alpha - \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12} < 4. \] После перемещения \(\alpha\) и при переносе \(-\sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}\):

\[ -\sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12} < 4 - \alpha. \] Теперь возведем обе части в квадрат:

\[ \alpha^2 + 4\alpha - 12 < (4 - \alpha)^2. \] Раскрыв квадрат, получаем:

\[ \alpha^2 + 4\alpha - 12 < 16 - 8\alpha + \alpha^2. \] Упрощая это неравенство, получаем:

\[ 4\alpha + 8\alpha < 16 + 12, \] то есть:

\[ 12\alpha < 28 \quad \Rightarrow \quad \alpha < \frac{28}{12} = \frac{7}{3}. \]

Теперь второе условие \(2 < x_2\):

\[ 2 < \frac{\alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}}{2}. \] При умножении на 2:

\[ 4 < \alpha + \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}. \] Переносим \(\alpha\):

\[ 4 - \alpha < \sqrt{\alpha^2 + 4\alpha - 12}. \] Возводим в квадрат:

\[ (4 - \alpha)^2 < \alpha^2 + 4\alpha - 12. \] Раскрыв квадрат, получаем:

\[ 16 - 8\alpha + \alpha^2 < \alpha^2 + 4\alpha - 12. \] Упрощая это неравенство, получаем:

\[ 16 + 12 < 12\alpha \quad \Rightarrow \quad 28 < 12\alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha > \frac{28}{12} = \frac{7}{3}. \]

Таким образом, объединяя оба условия, получаем:

\[ \frac{7}{3} < \alpha < \frac{7}{3}. \]

Финальное решение: \( \alpha \geq \frac{7}{3}\) и \( \alpha < 2 \) и это соответствует варианту ответа: 6) \( \alpha \geq \frac{7}{3} \).