B = {3, 5, 7, 9}. 3. На полу комнаты площадью 24 м* лежат три ковра. Площадь одного из них 10м', другого 8 м', третьего 6 м?. Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м?, а площадь участка пола покрытого всеми тремя коврами, составляет ровно 1 м?. Найдите площадь которая а) покрыта коврами; б) покрыта 1 и 2 ковром, но не покрыта третьим ковром; в) покрыта только первым ковром; г) не покрыта коврами.
Давайте обозначим площади ковров:
- \( A_1 \) - площадь первого ковра = 10 м²
- \( A_2 \) - площадь второго ковра = 8 м²
- \( A_3 \) - площадь третьего ковра = 6 м²
Также обозначим площадь перекрытий:
- \( x_{12} \) - перекрытие между первым и вторым коврами = 3 м²
- \( x_{13} \) - перекрытие между первым и третьим коврами = 3 м²
- \( x_{23} \) - перекрытие между вторым и третьим коврами = 3 м²
- \( x_{123} \) - площадь, покрытая всеми тремя коврами = 1 м²
Теперь можно найти площади, которые нас интересуют.
а) Площадь, покрытая коврами:
По формуле включений-исключений для площадей:
\[ S = A_1 + A_2 + A_3 - x_{12} - x_{13} - x_{23} + x_{123} \]
Подставим известные значения:
\[ S = 10 + 8 + 6 - 3 - 3 - 3 + 1 = 10 + 8 + 6 - 9 + 1 = 17 м² \]
Площадь, покрытая коврами, равна 17 м².
б) Площадь, покрытая 1 и 2 ковром, но не покрытая 3 ковром:
Эта площадь можно выразить как:
\[ S_{12} = A_1 + A_2 - x_{12} - x_{123} \]
Подставим известные значения:
\[ S_{12} = 10 + 8 - 3 - 1 = 14 м² \]
Площадь, покрытая первым и вторым ковром, но не третьим, равна 14 м².
в) Площадь, покрытая только первым ковром:
Эта площадь будет:
\[ S_1 = A_1 - x_{12} - x_{13} + x_{123} \]
Подставим известные значения:
\[ S_1 = 10 - 3 - 3 + 1 = 5 м² \]
Площадь, покрытая только первым ковром, равна 5 м².
г) Площадь, не покрыта коврами:
Эта площадь считается как:
\[ S_{\text{не покрыта}} = S_{\text{вся комната}} - S_{\text{покрыта коврами}} \]
Площадь комнаты \( S_{\text{вся комната}} = 24 м² \), значит:
\[ S_{\text{не покрыта}} = 24 - 17 = 7 м² \]
Площадь, не покрытая коврами, равна 7 м².
Таким образом, у нас получаются следующие результаты:
- а) 17 м²
- б) 14 м²
- в) 5 м²
- г) 7 м²
