В 2016 году астрофизик К. Батыгин высказал гипотезу о существовании в Солнечной системе девятой планеты. Он оценил, что масса этой планеты примерно в 10 раз больше массы Земли, а диаметр — примерно в 2 раза больше земного. Считая эти оценки правильными, найдите отношение модуля ускорения свободного падения на поверхности этой планеты к модулю ускорения свободного падения на поверхности Земли. Неизвестную планету и Землю можно считать однородными шарами. Ответ округлите до десятых долей.
Чтобы найти отношение модуля ускорения свободного падения на поверхности девятой планеты к модулю ускорения свободного падения на поверхности Земли, мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения \( g \) на поверхности однородного шара:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса планеты,
- \( R \) — радиус планеты.
Для Земли обозначим:
- \( M_{\text{Земля}} \) — массу Земли,
- \( R_{\text{Земля}} \) — радиус Земли,
- \( g_{\text{Земля}} \) — ускорение свободного падения на Земле.
Согласно условиям задачи, масса девятой планеты \( M_{\text{планета}} = 10 \cdot M_{\text{Земля}} \) и её радиус \( R_{\text{планета}} = 2 \cdot R_{\text{Земля}} \).
Теперь можем выразить ускорение свободного падения на поверхности девятой планеты \( g_{\text{планета}} \):
\[ g_{\text{планета}} = \frac{G \cdot M_{\text{планета}}}{R_{\text{планета}}^2} = \frac{G \cdot (10 \cdot M_{\text{Земля}})}{(2 \cdot R_{\text{Земля}})^2} \]
Подставим значение радиуса:
\[ g_{\text{планета}} = \frac{G \cdot (10 \cdot M_{\text{Земля}})}{4 \cdot R_{\text{Земля}}^2} = \frac{10}{4} \cdot \frac{G \cdot M_{\text{Земля}}}{R_{\text{Земля}}^2} = \frac{10}{4} \cdot g_{\text{Земля}} \]
Теперь найдем отношение модулей ускорений свободного падения:
\[ \frac{g_{\text{планета}}}{g_{\text{Земля}}} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
Округляя до десятых долей, получаем:
\[ \frac{g_{\text{планета}}}{g_{\text{Земля}}} = 2.5 \]
Таким образом, отношение модуля ускорения свободного падения на поверхности девятой планеты к модулю ускорения свободного падения на поверхности Земли равно 2.5.
