Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x²-6x+8 прямыми х=-1,x=-2 и осью абсцисс
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \), прямыми \( x = -1 \), \( x = -2 \) и осью абсцисс, следуем следующим шагам:
Найдем корни функции. Для этого решим уравнение \( x^2 - 6x + 8 = 0 \):
\[ (x - 2)(x - 4) = 0 \]
Корни: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).
Определим область интегрирования. Мы ограничены вертикальными линиями \( x = -1 \) и \( x = -2 \). Нужно выяснить, как функция ведет себя в этой области.
Вычислим значение функции в точках:
- \( f(-1) = (-1)^2 - 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15 \)
- \( f(-2) = (-2)^2 - 6(-2) + 8 = 4 + 12 + 8 = 24 \)
Значения функции положительны, следовательно, график функции находится выше оси абсцисс в пределах от \( x = -1 \) до \( x = -2 \).
Вычислим площадь под графиком от \( x = -2 \) до \( x = -1 \), интегрируя функцию:
\[ S = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 6x + 8) \, dx \]
Находим неопределённый интеграл:
\[ \int (x^2 - 6x + 8) \, dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x + C \]
Рассчитаем определенный интеграл:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_{-2}^{-1} \]
Подставляем \( x = -1 \):
\[ \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 8(-1) = -\frac{1}{3} - 3 - 8 = -\frac{1}{3} - 11 = -\frac{34}{3} \]
Подставляем \( x = -2 \):
\[ \frac{(-2)^3}{3} - 3(-2)^2 + 8(-2) = -\frac{8}{3} - 12 - 16 = -\frac{8}{3} - 28 = -\frac{8 + 84}{3} = -\frac{92}{3} \]
Находим S:
\[ S = \left(-\frac{34}{3}\right) - \left(-\frac{92}{3}\right) = -\frac{34}{3} + \frac{92}{3} = \frac{58}{3} \]
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и заданными прямыми, равна \( \frac{58}{3} \) квадратных единиц.
