Решите неравенства: (4 балла) a) (3x ^ 2 + 3x)/(x - 5) <= 0 B) log_(1/3)(3 - 2x) > - 1 +) x ^ 2 - 64 > 0 г) 6) (1/2) ^ (2x - 3) <= 4 ^ 3

Конечно! Давайте решим предложенные неравенства одно за другим.

a) \((3x^2 + 3x)/(x - 5) \leq 0\)

1. Найдем нули числителя и знаменателя.

   • Числитель: \(3x^2 + 3x = 3x(x + 1) = 0\)
     Нули: \(x = 0\) и \(x = -1\).
   • Знаменатель: \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).

2. Определим знаки функции.
   Значения \(x\): \(-\infty\), \(-1\), \(0\), \(5\), \(\infty\).

   Создадим интервал и проверим знак функции на каждом интервале:

   • Интервал \((- \infty, -1)\): например, \(x = -2\)
     \((3(-2)^2 + 3(-2))/(-2 - 5) = (12 - 6)/(-7) = 6/(-7) < 0\)

   • Интервал \((-1, 0)\): например, \(x = -0.5\)
     \((3(-0.5)^2 + 3(-0.5))/(-0.5 - 5) = (0.75 - 1.5)/(-5.5) < 0 \)

   • Интервал \((0, 5)\): например, \(x = 1\)
     \((3(1)^2 + 3(1))/(1 - 5) = (3 + 3)/(-4) < 0\)

   • Интервал \((5, +\infty)\): например, \(x = 6\)
     \((3(6)^2 + 3(6))/(6 - 5) > 0\)

3. Итого:
   Решение неравенства включает точки, при которых функция равна нулю, и интервал, где функция меньше нуля:
   \[x \in (-\infty, -1] \cup [-1, 0] \cup [0, 5)\]

b) \(\log_{1/3}(3 - 2x) > -1\)

1. Перепишем неравенство в эквивалентной форме:
   \(\log_{1/3}(3 - 2x) > -1\) означает, что
   \(3 - 2x < (1/3)^{-1} = 3\) (так как основание меньше 1).

2. Решим: \[3 - 2x < 3\] \[-2x < 0 \Rightarrow x > 0.\]

3. Также нужно учитывать, что \(3 - 2x > 0\): \[3 > 2x \Rightarrow x < 1.5.\]

4. Итак, решение: \[x \in (0, 1.5).\]

c) \(x^2 - 64 > 0\)

1. Факторизуем:
   \((x - 8)(x + 8) > 0\).

2. Определим нули:
   \(x = 8\) и \(x = -8\).

3. Проверим знаки:
   Интервалы: \((- \infty, -8)\), \((-8, 8)\), \((8, +\infty)\).

   • Интервал \((- \infty, -8)\): например, \(x = -9\) → положительно.
   • Интервал \((-8, 8)\): например, \(x = 0\) → отрицательно.
   • Интервал \((8, +\infty)\): например, \(x = 9\) → положительно.

4. Итак, решение: \[x \in (-\infty, -8) \cup (8, +\infty).\]

d) \((1/2)^{(2x - 3)} \leq 4^3\)

1. Переписываем \(4^3\):
   \(4^3 = (2^2)^3 = 2^6\) → \( (1/2)^{(2x - 3)} \leq 2^6\).

2. Подберем основание:
   \((1/2)^{(2x - 3)} \geq 2^{-6}\) (так как \((1/2)^{-k} = 2^{k}\)).

3. Преобразуем: \[(2x - 3) \leq -6.\]

4. Решим: \[2x \leq -3 \Rightarrow x \leq -1.5.\]

Таким образом, решение последнего неравенства:
\[x \in (-\infty, -1.5].\]

Итог

1. a) \((-∞, -1] \cup [-1, 0] \cup [0, 5)\)
2. b) \((0, 1.5)\)
3. c) \((-∞, -8) \cup (8, ∞)\)
4. d) \((-∞, -1.5]\)

Если есть вопросы по решению, всегда готов помочь!