На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно 5 м/с2?
Ускорение свободного падения можно определить с помощью формулы:
\[ g' = g_0 \cdot \left( \frac{R}{R + h} \right)^2 \]
где:
- \( g' \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \),
- \( g_0 \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \) — ускорение свободного падения на поверхности Земли,
- \( R \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \) — радиус Земли,
- \( h \) — высота над поверхностью Земли.
Мы хотим найти \( h \), при этом \( g' = 5 \, \text{m/s}^2 \).
Подставим известные значения в формулу:
\[ 5 = 9.81 \cdot \left( \frac{6.371 \times 10^6}{6.371 \times 10^6 + h} \right)^2 \]
Далее решим это уравнение для \( h \):
- Разделим обе стороны на 9.81:
\[\frac{5}{9.81} = \left( \frac{6.371 \times 10^6}{6.371 \times 10^6 + h} \right)^2\]
- Извлечем квадратный корень:
\[\sqrt{\frac{5}{9.81}} = \frac{6.371 \times 10^6}{6.371 \times 10^6 + h}\]
- Перепишем уравнение:
\[6.371 \times 10^6 + h = 6.371 \times 10^6 \cdot \sqrt{\frac{9.81}{5}}\]
- Найдем \( h \):
\[h = 6.371 \times 10^6 \cdot \sqrt{\frac{9.81}{5}} - 6.371 \times 10^6\]
Теперь, подставим \( \sqrt{\frac{9.81}{5}} \approx 1.4 \):
\[h \approx 6.371 \times 10^6 \cdot 1.4 - 6.371 \times 10^6\] \[h \approx 6.371 \times 10^6 \cdot (1.4 - 1) \] \[h \approx 6.371 \times 10^6 \cdot 0.4 \] \[h \approx 2.5484 \times 10^6 \, \text{m} \]
Таким образом, высота \( h \) составляет примерно 2548 километров.
