1/4 log^3 16/81-1/3 log^3 8/27

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

У нас есть выражение:

\[ \frac{1}{4} \log_3 \frac{16}{81} - \frac{1}{3} \log_3 \frac{8}{27} \]

1. Используем свойство логарифмов: \[ a \log_b(c) = \log_b(c^a) \] Это поможет упростить выражение.

2. Упростим первую часть:

   \[ \frac{1}{4} \log_3 \frac{16}{81} = \log_3 \left(\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}}\right) \]

   \(16 = 2^4\) и \(81 = 3^4\), поэтому:

   \[ \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \]

   Таким образом:

   \[ \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \]

   Значит, первая часть становится: \[ \log_3 \frac{2}{3} \]

3. Упростим вторую часть:

   \[ \frac{1}{3} \log_3 \frac{8}{27} = \log_3 \left(\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}\right) \]

   \(8 = 2^3\) и \(27 = 3^3\), поэтому:

   \[ \frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \]

   Таким образом:

   \[ \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \]

   Значит, вторая часть становится: \[ \log_3 \frac{2}{3} \]

4. Вычитаем:

   Теперь у нас есть:

   \[ \log_3 \frac{2}{3} - \log_3 \frac{2}{3} = 0 \]

Вот и все, ответ — ноль. Если что-то непонятно, спрашивай!