Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на…

Для решения задачи мы можем использовать закон сохранения импульса и закон Гука.

1. Сначала рассчитываем первоначальный импульс системы: Масса пули \( m_1 = 0,01 \, \text{кг} \) (10 г), скорость пули \( v_1 = 500 \, \text{м/с} \), масса ящика \( m_2 = 10 \, \text{кг} \) (он изначально покоится, поэтому его скорость \( v_2 = 0 \, \text{м/с} \)).

   Общий импульс системы до столкновения: \[ p_{\text{до}} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0,01 \cdot 500 + 10 \cdot 0 = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

2. Теперь находим общую массу ящика с пулей после столкновения: После столкновения пуля застревает в ящике, и их общая масса: \[ m_{\text{общ}} = m_1 + m_2 = 0,01 + 10 = 10,01 \, \text{кг} \]

3. Используем закон сохранения импульса для нахождения скорости системы после столкновения: Обозначим финальную скорость системы после столкновения как \( v_f \): \[ p_{\text{пос}} = m_{\text{общ}} v_f \] По закону сохранения импульса: \[ p_{\text{до}} = p_{\text{пос}} \implies 5 = 10,01 v_f \implies v_f = \frac{5}{10,01} \approx 0,4995 \, \text{м/с} \]

4. Теперь применяем закон Гука для определения сжатия пружины: При сжатии пружины система будет иметь кинетическую энергию, которая будет преобразована в потенциальную энергию пружины. Потенциальная энергия пружины выражается следующим образом: \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \] где \( k = 30 \, \text{Н/см} = 3000 \, \text{Н/м} \) (перевели в единицы СИ) и \( x \) — сжатие пружины.

   Кинетическая энергия системы в конце: \[ E_k = \frac{1}{2} m_{\text{общ}} v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 10,01 \cdot (0,4995)^2 \approx 1,25 \, \text{Дж} \]

5. Теперь уравниваем энергии: \[ \frac{1}{2} k x^2 = E_k \] Подставляем известные значения: \[ \frac{1}{2} \cdot 3000 \cdot x^2 = 1,25 \implies 1500 x^2 = 1,25 \implies x^2 = \frac{1,25}{1500} \implies x^2 \approx 0,000833 \implies x \approx \sqrt{0,000833} \approx 0,0289 \, \text{м} \approx 2,89 \, \text{см} \]

Таким образом, пружина сожмется приблизительно на 2,89 см.