Дан треугольник АВС, с координатами вершин в точках:А(9, 3) ;В(5, -4) ;С(-4, 0).Постоить через. Найти уравнение и длину медианы АD

Для решения задачи, давайте сначала определим точку D, которая является серединой отрезка BC. Затем мы найдем уравнение медианы AD и её длину.

1. Находим координаты точки D (середина отрезка BC): \[ D(x_D, y_D) = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \] Подставим координаты точек B(5, -4) и C(-4, 0): \[ x_D = \frac{5 + (-4)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \] \[ y_D = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Таким образом, координаты точки D: D(0.5, -2).

2. Находим уравнение прямой AD. Для этого сначала найдем угловой коэффициент k: \[ k = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{-2 - 3}{0.5 - 9} = \frac{-5}{-8.5} = \frac{5}{8.5} = \frac{10}{17} \]

   Теперь используем уравнение прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\) с точкой A(9, 3): \[ y - 3 = \frac{10}{17}(x - 9) \] Упрощаем: \[ y - 3 = \frac{10}{17}x - \frac{90}{17} \] \[ y = \frac{10}{17}x + 3 - \frac{90}{17} \] \[ y = \frac{10}{17}x + \frac{51 - 90}{17} = \frac{10}{17}x - \frac{39}{17} \] Таким образом, уравнение медианы AD: \[ y = \frac{10}{17}x - \frac{39}{17} \]

3. Находим длину медианы AD. Длину отрезка можно найти по формуле: \[ AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} \] Подставим координаты точки D(0.5, -2) и точки A(9, 3): \[ AD = \sqrt{(0.5 - 9)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-8.5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{72.25 + 25} = \sqrt{97.25} \]

   Приблизительное значение длины: \[ AD \approx 9.86 \]

Таким образом, уравнение медианы AD: \(y = \frac{10}{17}x - \frac{39}{17}\), а её длина примерно равна 9.86.