При каких отрицательных значениях k прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x^2-4x+14 единственную общую точку (касается)?
Чтобы понять, при каких отрицательных значениях \( k \) прямая \( y = kx + 5 \) имеет одну общую точку с параболой \( y = x^2 - 4x + 14 \), нужно решить уравнение, равняющее прямую и параболу:
\[ kx + 5 = x^2 - 4x + 14 \]
Перенесем все элементы в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - (4 + k)x + (14 - 5) = 0 \]
Это уравнение принимает вид:
\[ x^2 - (k + 4)x + 9 = 0 \]
Чтобы прямая и парабола имели единственную общую точку, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю:
\[ D = (k + 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0 \]
Решим это уравнение для нахождения значений \( k \):
\[ (k + 4)^2 - 36 = 0 \] \[ (k + 4)^2 = 36 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ k + 4 = 6 \quad \text{или} \quad k + 4 = -6 \]
Решим каждое из этих уравнений:
\( k + 4 = 6 \)
\( k = 6 - 4 = 2 \)\( k + 4 = -6 \)
\( k = -6 - 4 = -10 \)
Теперь у нас есть два значения: \( k = 2 \) и \( k = -10 \). Поскольку нас интересуют только отрицательные значения \( k \), то итоговое ответом будет:
\[ k = -10 \]
Таким образом, прямая \( y = kx + 5 \) будет иметь единственную общую точку с параболой \( y = x^2 - 4x + 14 \) при \( k = -10 \).
