Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на сколько при этом сожмется пружина.

Question 1

Задача Задача №2429977

А

Аноним

06 декабря 2024 06:50 · публичный вопрос

А

Аноним 06 декабря 2024 06:50

Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на сколько при этом сожмется пружина.

Answer

Для решения задачи можно использовать закон сохранения импульса и закон Гука.

Дано:

Масса ящика с песком \( M = 10 \, \text{кг} \)
Жесткость пружины \( k = 30 \, \text{Н/см} = 3000 \, \text{Н/м} \) (переведем в стандартные единицы)
Масса пули \( m = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг} \)
Скорость пули \( v = 500 \, \text{м/с} \)

Найдем импульс пули до столкновения: \[ p_{\text{initial}} = m \cdot v = 0.01 \, \text{кг} \cdot 500 \, \text{м/с} = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После столкновения пуля застревает в ящике, и мы можем определить общую массу системы (ящик + пуля): \[ M_{\text{total}} = M + m = 10 \, \text{кг} + 0.01 \, \text{кг} = 10.01 \, \text{кг} \]
Используем закон сохранения импульса: \[ p_{\text{initial}} = p_{\text{final}} \] \[ p_{\text{final}} = M_{\text{total}} \cdot V \] где \( V \) — это скорость системы сразу после столкновения. Уравнение становится: \[ 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 10.01 \, \text{кг} \cdot V \] \[ V = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{10.01 \, \text{кг}} \approx 0.4995 \, \text{м/с} \]
Теперь найдем, на сколько сожмётся пружина. При полном сжатии пружины вся кинетическая энергия системы преобразуется в потенциальную энергию пружины. Кинетическая энергия системы после столкновения: \[ E_k = \frac{1}{2} \cdot M_{\text{total}} \cdot V^2 = \frac{1}{2} \cdot 10.01 \, \text{кг} \cdot (0.4995 \, \text{м/с})^2 \] \[ E_k \approx \frac{1}{2} \cdot 10.01 \cdot 0.2495 \approx 1.25 \, \text{Дж} \]
Потенциальная энергия пружины при сжатии \( (x) \): \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \] Приравниваем кинетическую энергию к потенциальной: \[ 1.25 = \frac{1}{2} \cdot 3000 \cdot x^2 \] \[ 1.25 = 1500 \cdot x^2 \] \[ x^2 = \frac{1.25}{1500} \approx 0.0008333 \] \[ x \approx \sqrt{0.0008333} \approx 0.0289 \, \text{м} \approx 2.89 \, \text{см} \]

Таким образом, пружина сожмётся примерно на \( 2.89 \) см.

Question 2

Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на сколько при этом сожмется пружина.

Answer

Для решения задачи можно использовать закон сохранения импульса и закон Гука. Дано: - Масса ящика с песком \( M = 10 \, \text{кг} \) - Жесткость пружины \( k = 30 \, \text{Н/см} = 3000 \, \text{Н/м} \) (переведем в стандартные единицы) - Масса пули \( m = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг} \) - Скорость пули \( v = 500 \, \text{м/с} \) 1. **Найдем импульс пули до столкновения:** \[ p_{\text{initial}} = m \cdot v = 0.01 \, \text{кг} \cdot 500 \, \text{м/с} = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \] 2. **После столкновения пуля застревает в ящике, и мы можем определить общую массу системы (ящик + пуля):** \[ M_{\text{total}} = M + m = 10 \, \text{кг} + 0.01 \, \text{кг} = 10.01 \, \text{кг} \] 3. **Используем закон сохранения импульса:** \[ p_{\text{initial}} = p_{\text{final}} \] \[ p_{\text{final}} = M_{\text{total}} \cdot V \] где \( V \) — это скорость системы сразу после столкновения. Уравнение становится: \[ 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 10.01 \, \text{кг} \cdot V \] \[ V = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{10.01 \, \text{кг}} \approx 0.4995 \, \text{м/с} \] 4. **Теперь найдем, на сколько сожмётся пружина. При полном сжатии пружины вся кинетическая энергия системы преобразуется в потенциальную энергию пружины. Кинетическая энергия системы после столкновения:** \[ E_k = \frac{1}{2} \cdot M_{\text{total}} \cdot V^2 = \frac{1}{2} \cdot 10.01 \, \text{кг} \cdot (0.4995 \, \text{м/с})^2 \] \[ E_k \approx \frac{1}{2} \cdot 10.01 \cdot 0.2495 \approx 1.25 \, \text{Дж} \] 5. **Потенциальная энергия пружины при сжатии \( (x) \):** \[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \] Приравниваем кинетическую энергию к потенциальной: \[ 1.25 = \frac{1}{2} \cdot 3000 \cdot x^2 \] \[ 1.25 = 1500 \cdot x^2 \] \[ x^2 = \frac{1.25}{1500} \approx 0.0008333 \] \[ x \approx \sqrt{0.0008333} \approx 0.0289 \, \text{м} \approx 2.89 \, \text{см} \] Таким образом, пружина сожмётся примерно на \( 2.89 \) см.