4.Найдите координаты точки Н, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек N(2,2) и К(5:-1).
Для решения данной задачи нам нужно найти координаты точки \( H(0, y) \), которая лежит на оси ординат, и равноудалена от точек \( N(2, 2) \) и \( K(5, -1) \).
Сначала запишем условие равноудаленности:
\[ \text{Расстояние от } H до N = \text{Расстояние от } H до K \]
Запишем формулы для расстояний:
Расстояние от \( H(0, y) \) до \( N(2, 2) \): \[ d(H, N) = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{4 + (y - 2)^2} \]
Расстояние от \( H(0, y) \) до \( K(5, -1) \): \[ d(H, K) = \sqrt{(0 - 5)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{25 + (y + 1)^2} \]
Теперь приравняем эти две величины:
\[ \sqrt{4 + (y - 2)^2} = \sqrt{25 + (y + 1)^2} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 4 + (y - 2)^2 = 25 + (y + 1)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 4 + (y^2 - 4y + 4) = 25 + (y^2 + 2y + 1) \]
Упрощаем уравнение:
\[ y^2 - 4y + 8 = y^2 + 2y + 26 \]
Сократим \( y^2 \) с обеих сторон:
\[ -4y + 8 = 2y + 26 \]
Теперь переносим все члены с \( y \) в одну сторону, а константы в другую:
\[ -4y - 2y = 26 - 8 \]
\[ -6y = 18 \]
Делим обе стороны на -6:
\[ y = -3 \]
Таким образом, координаты точки \( H \) равны \( (0, -3) \).
