4. В треугольнике АВС сторона АВ =10 см, ВС = 17 см, АС = 21 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 2) используя формулу Герона.
Для нахождения площади треугольника ABC с заданными сторонами можно воспользоваться двумя методами.
- Вычисление высоты к стороне AC:
Сначала найдем полупериметр треугольника. Полупериметр \( p \) вычисляется по формуле: \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24 \text{ см} \]
Теперь можем воспользоваться формулой Герона для нахождения площади \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} \]
Теперь вычислим каждую часть: \[ S = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} \approx 84 \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 84 см².
- Используя формулу Герона:
Мы уже рассчитали площадь с использованием формулы Герона выше, но если вы хотите рассчитать высоту к стороне AC, можно использовать другой подход для нахождения площади.
Площадь треугольника также можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высоту. \] Здесь основанием будет сторона AC. Используя найденную площадь, можем выразить высоту \( h \): \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times h \implies 84 = \frac{1}{2} \times 21 \times h. \] Упрощая, получаем: \[ 84 = 10.5 \times h \implies h = \frac{84}{10.5} \approx 8 \text{ см}. \]
Таким образом, высота \( h \) к стороне AC равна approximately 8 см.
В итоге, площадь треугольника ABC составляет 84 см², а высота к стороне AC — около 8 см.
