Сообщить об ошибке На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в…

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника \(AMCK\) и поделим её на площадь прямоугольника \(ABCD\).

1. Площадь прямоугольника \(ABCD\): Пусть длины сторон прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Тогда площадь \(S_{ABCD} = a \times b\).

2. Определение координат точек:

   • Пусть \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, b)\), \(D(0, b)\).
   • Тогда середины сторон:
     • \(K(\frac{a}{2}, 0)\) (середина \(AB\))
     • \(L(a, \frac{b}{2})\) (середина \(BC\))
     • \(M(\frac{a}{2}, b)\) (середина \(CD\))
     • \(N(0, \frac{b}{2})\) (середина \(AD\))

3. Площадь четырехугольника \(AMCK\): Для нахождения площади четырехугольника можно воспользоваться формулой, учитывающей координаты вершин: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] Подставляем координаты:

   • \(A(0, 0)\)
   • \(M(\frac{a}{2}, b)\)
   • \(C(a, b)\)
   • \(K(\frac{a}{2}, 0)\)

   Тогда: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{ab}{2} + 0 + 0 - (0 + ab + \frac{ab}{2} + 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - \frac{3ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{2ab}{2} \right| = \frac{ab}{2} \]

4. Вероятность: Теперь находим вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит четырехугольнику \(AMCK\): \[ P = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{2}}{ab} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит четырехугольнику \(AMCK\), равна \(\frac{1}{2}\).