Самостоятельная работа Вычисление частных производных 1) Вычислить частные производные первого порядка: zx³-3x²y + 2y³; 2) Найти частные производные первого порядка для функции:…
Самостоятельная работа Вычисление частных производных 1) Вычислить частные производные первого порядка: zx³-3x²y + 2y³; 2) Найти частные производные первого порядка для функции: a) z = x² + y² - 4х2у2 и вычислить их значения в точке (-1; 0); b) z = x3 + 3-3ху и вычислить их значения в точке (1;-1). 3) Вычислить частные производные второго порядка: z = x² + 4x²y³ + 7xy + 1.
С удовольствием помогу вам разобраться с вычислением частных производных. Разберем каждый пункт по порядку.
1) Вычислить частные производные первого порядка функции \( z = x^3 - 3x^2y + 2y^3 \).
Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - 3x^2y + 2y^3) = 3x^2 - 6xy. \]
Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - 3x^2y + 2y^3) = -3x^2 + 6y^2. \]
2) Найти частные производные первого порядка для функции:
a) \( z = x^2 + y^2 - 4x^2y^2 \) и вычислить их значения в точке (-1; 0).
Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 4x^2y^2) = 2x - 8xy^2. \]
Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 4x^2y^2) = 2y - 8x^2y. \]
Теперь подставим точку (-1, 0):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(-1, 0)} = 2(-1) - 8(-1)(0)^2 = -2. \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(-1, 0)} = 2(0) - 8(-1)^2(0) = 0. \]
Таким образом, в точке (-1, 0):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0. \]
b) \( z = x^3 + 3 - 3xy \) и вычислить их значения в точке (1; -1).
Частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + 3 - 3xy) = 3x^2 - 3y. \]
Частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + 3 - 3xy) = -3x. \]
Теперь подставим точку (1, -1):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(1, -1)} = 3(1)^2 - 3(-1) = 3 + 3 = 6. \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(1, -1)} = -3(1) = -3. \]
Таким образом, в точке (1, -1):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 6, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -3. \]
3) Вычислить частные производные второго порядка для функции \( z = x^2 + 4x^2y^3 + 7xy + 1 \).
Сначала вычислим частные производные первого порядка, которые нужны для вычисления частных производных второго порядка.
Первая частная производная по \( x \):
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 8xy^3 + 7y. \]
Первая частная производная по \( y \):
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 12x^2y^2 + 7x. \]
Теперь найдем вторые производные:
- Вторая производная по \( x \):
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x + 8xy^3 + 7y\right) = 2 + 8y^3. \]
- Вторая производная по \( y \):
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(12x^2y^2 + 7x) = 24x^2y. \]
- Смешанная производная \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \):
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 8xy^3 + 7y) = 24xy^2 + 7. \]
Таким образом, окончательные результаты по производным:
- Первая частная производная по \( x \): \( 2 + 8y^3 \)
- Первая частная производная по \( y \): \( 12x^2y^2 + 7x \)
- Вторая частная производная по \( x \): \( 2 + 8y^3 \)
- Вторая частная производная по \( y \): \( 24x^2y \)
- Смешанная производная: \( 24xy^2 + 7 \)
Если вам нужна дополнительная помощь или пояснения, не стесняйтесь обращаться! Удачи в подготовке к экзаменам!
