постройте график функций: А) у = 2x² + 4x + 1
Чтобы построить график функции \( y = 2x^2 + 4x + 1 \), давайте разберем его шаг за шагом.
Определим тип функции: Это квадратная функция (парабола), так как наивысшая степень переменной \( x \) равна 2.
Находим координаты вершины: Вершина параболы определяется по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] где \( a = 2 \) и \( b = 4 \). Подставляя значения, получаем: \[ x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 \]
Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти \( y \): \[ y = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2(1) - 4 + 1 = -1 \] Таким образом, координаты вершины: \( (-1, -1) \).
Найдем осевые пересечения:
Переход по оси \( y \): Подставим \( x = 0 \) в уравнение: \[ y = 2(0^2) + 4(0) + 1 = 1 \] То есть, точка пересечения с осью \( y \) — это \( (0, 1) \).
Переход по оси \( x \): Чтобы найти пересечения с осью \( x \), решим уравнение \( 2x^2 + 4x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \] Поскольку дискриминант положительный, есть два действительных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2} \]
Окончательно, корни равны: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \]
Построение графика: С учетом найденных значений, можно заметить, что парабола открыта вверх (так как \( a > 0 \)). Нанесите точки: вершина \( (-1, -1) \), пересечение с осью \( y \) в \( (0, 1) \), и пересечения с осью \( x \) в \( x_1 \) и \( x_2 \).
На основе всех данных, вы можете построить график функции \( y = 2x^2 + 4x + 1 \). Постарайтесь отметить все важные точки и провести симметричную кривую. Удачи в изучении!
