5. Постройте графики функций А) у = 2x² + 4x + 1
Для построения графика функции \( y = 2x^2 + 4x + 1 \), давайте сначала проанализируем ее.
Тип функции: Это квадратичная функция, которая имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 2 \), \( b = 4 \) и \( c = 1 \). Поскольку \( a > 0 \), парабола открыта вверх.
Вершина параболы: Координаты вершины можно найти по формуле \( x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \). Подставим значения: \[ x_{вершины} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 \] Теперь найдем значение \( y \) в данной точке: \[ y_{вершины} = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1, -1) \).
Нахождение корней: Для нахождения корней уравнения, можно использовать дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 \] Так как \( D > 0 \), у уравнения два различных корня. Находим их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2} \] Получаем корни:
- \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2} \)
- \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2} \)
Нахождение значения y при других значениях x: Для лучшего понимания функции, можно вычислить несколько значений \( y \) при различных \( x \):
- \( x = -2: y = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 \)
- \( x = 0: y = 2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 \)
- \( x = 1: y = 2(1)^2 + 4(1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 \)
Построение графика: Теперь у вас есть все необходимые точки для построения графика:
- Вершина: \( (-1, -1) \)
- Корни: \( x_1 \) и \( x_2 \)
- Дополнительные точки: \( (-2, 1) \), \( (0, 1) \), \( (1, 7) \)
Используя эти точки, вы можете провести график функции, который будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх. Не забудьте обозначить оси координат, вершину и корни на вашем графике. Удачи с построением!
